Resolva as EDO:
x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+2 y=x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x^{2}y'' + x\,y' + 2y = x.
Este é um caso de equação de Euler–Cauchy de segunda ordem, cuja solução geral é dada pela soma da solução da homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da homogênea
x^{2}y'' + x\,y' + 2y = 0
fazendo o “ansatz” y = x^{m}. Substituindo, obtemos a equação característica
m(m-1) + m + 2 = m^{2} + 2 = 0
cuja raízes são
m = \pm i\sqrt{2}.
Como as raízes são complexas conjugadas 0 \pm i\sqrt{2}, a solução homogênea é
y_{h}(x) = C_{1}\cos\bigl(\sqrt{2}\ln x\bigr) + C_{2}\sin\bigl(\sqrt{2}\ln x\bigr).

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular da equação completa. Observando que o termo não homogêneo é x, tentamos
y_{p}(x) = A\,x.
Calculamos
y_{p}' = A, \qquad y_{p}'' = 0,
e substituímos em
x^{2}y'' + x\,y' + 2y = x:
x^{2}\cdot0 \;+\; x\cdot A \;+\; 2\,(A\,x) = 3A\,x \;\overset{!}{=}\; x.
Daí vem 3A = 1, ou seja A = \tfrac{1}{3}. Logo
y_{p}(x) = \frac{x}{3}.

Passo 4

A solução geral da equação original é
y(x) = y_{h}(x) + y_{p}(x) = C_{1}\cos\bigl(\sqrt{2}\ln x\bigr) + C_{2}\sin\bigl(\sqrt{2}\ln x\bigr) + \frac{x}{3},
válida para x>0 (domínio típico de equações de Euler–Cauchy).

Resposta

y(x) = C_{1}\cos\bigl(\sqrt{2}\ln x\bigr) + C_{2}\sin\bigl(\sqrt{2}\ln x\bigr) + \frac{x}{3}.

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