Resolva o problema de valor de contorno dado.
$y^{\prime \prime}+y=x^{2}+1, \quad y(0)=5, y^{\prime}(1)=0
$y^{\prime \prime}+y=x^{2}+1, \quad y(0)=5, y^{\prime}(1)=0
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor de contorno
,
com as condições de contorno
e
.
O conteúdo necessário é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular.
com as condições de contorno
O conteúdo necessário é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, achamos a solução geral da equação homogênea associada
A equação característica é
cuja raiz complexa dá
Portanto, a solução homogênea é
Passo 3
Agora, procuramos uma solução particular
para
Como o lado direito é um polinômio de grau 2, tentamos
Calculamos
então
Igualando a
, obtemos o sistema dos coeficientes:
,
,
.
Logo
Logo
Passo 4
A solução geral do problema é
Derivando, temos
Passo 5
Impondo
:
Passo 6
Impondo
:
Resposta
A solução do problema de valor de contorno é