Resolva o problema de valor de contorno dado.
$y^{\prime \prime}+y=x^{2}+1, \quad y(0)=5, y^{\prime}(1)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor de contorno
y''+y = x^{2}+1,
com as condições de contorno
y(0)=5 e y'(1)=0.
O conteúdo necessário é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, achamos a solução geral da equação homogênea associada
y''+y=0.
A equação característica é
r^{2}+1=0
cuja raiz complexa dá
r=\pm i.
Portanto, a solução homogênea é
y_{h}(x)=A\cos x + B\sin x.

Passo 3

Agora, procuramos uma solução particular y_{p}(x) para
y''+y = x^{2}+1.
Como o lado direito é um polinômio de grau 2, tentamos
y_{p}(x)=ax^{2}+bx+c.
Calculamos
y_{p}''(x)=2a,\quad y_{p}(x)=ax^{2}+bx+c,
então
y_{p}''+y_{p}=2a + (ax^{2}+bx+c) = ax^{2}+bx+(c+2a).
Igualando a x^{2}+1, obtemos o sistema dos coeficientes:
a=1, b=0, c+2a=1\Rightarrow c-2=1-2=-1.
Logo
y_{p}(x)=x^{2}-1.

Passo 4

A solução geral do problema é
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=A\cos x + B\sin x + x^{2}-1.
Derivando, temos
y'(x)=-A\sin x + B\cos x + 2x.

Passo 5

Impondo y(0)=5:
y(0)=A\cos0 + B\sin0 + 0^{2}-1 = A-1 =5\quad\Longrightarrow\quad A=6.

Passo 6

Impondo y'(1)=0:
y'(1)=-6\sin1 + B\cos1 + 2 =0 \quad\Longrightarrow\quad B\cos1 = 6\sin1 -2 \quad\Longrightarrow\quad B = \frac{6\sin1 - 2}{\cos1} = 6\tan1 - 2\sec1.

Resposta

A solução do problema de valor de contorno é
y(x) = 6\cos x \;+\;\bigl(6\tan1 - 2\sec1\bigr)\,\sin x \;+\; x^{2} - 1.

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