Resolva o problema de valor inicial dado.
y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}=2-24 e^{x}+40 e^{5 x}, \quad y(0)=\frac{1}{2}, y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y''' - 2y'' + y' = 2 - 24e^{x} + 40e^{5x}
e as condições iniciais
y(0)=\tfrac12,\quad y'(0)=0.
Como é uma equação de terceira ordem, precisamos de três condições iniciais para determinar unicamente a solução.

Passo 2

A solução geral da parte homogênea vem da equação característica
r^3 - 2r^2 + r = r(r-1)^2 = 0,
cuja solução geral é
y_h(x)=C_1 + C_2 e^x + C_3\,x e^x.
Para achar a solução particular, usaríamos o método dos coeficientes a determinar, mas para fixar C_1,C_2,C_3 precisamos de três condições iniciais.

Passo 3

Só foram fornecidas duas condições iniciais, y(0) e y'(0). Falta a condição sobre y''(0), sem a qual não há informação suficiente para obter os três constantes C_1,C_2,C_3.

Resposta

Não é possível determinar a solução única porque falta a condição inicial para y''(0).

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