Resolva a EDO y^prime=(x+y+1)^2 por meio da substituição u=x+y+1.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem
y' = (x + y + 1)^2
e sugere a substituição
u = x + y + 1
O objetivo é transformar a equação original numa equação separável em u e x.

Passo 2

Como u = x + y + 1, temos
y = u - x - 1
e, derivando em relação a x,
y' = dudx - 1
Agora vamos substituir y' e x+y+1 na EDO original.

Passo 3

Substituindo na equação y' = (x+y+1)^2 obtemos
dudx - 1 = u^2,
ou seja
dudx = u^2 + 1
Isso é uma equação separável em u e x.

Passo 4

Separamos variáveis e integramos:
integral duu^2+1 = integral dx
A integral de 1u^2+1 é arctan(u), então
arctan(u) = x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável y, lembramos que u = x + y + 1. Da solução arctan(u)=x+C tiramos
u = tanl(x + Cr)
Logo
x + y + 1 = tanl(x + Cr)
e, isolando y, obtemos a solução geral
y(x) = tanl(x + Cr) - x - 1

Resposta

y(x) = tanl(x + Cr) - x - 1

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