Resolva as EDOs abaixo:
y^prime=yx+raizx y, com x>0.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a EDO
dydx=yx+raizx,y, (x>0)
É uma equação de primeira ordem não linear. Como aparece raizx,y, vamos usar a substituição
u=raizyx

Passo 2

Definindo u=raiztfracyx, temos
y = u^2,x
Derivando em relação a x (regra do produto e cadeia):
dydx = u^2 + 2u,x,dudx

Passo 3

Substituindo na EDO original:
u^2 + 2u,xdudx = yx+raizx,y = u^2,xx + raizx,(u^2x) = u^2,xx(1+u) = u^21+u
Isolando tfracdudx:
2u,xdudx = u^21+u-u^2 = -u^31+u, dudx = -u^22x(1+u)

Passo 4

Separamos variáveis:
1+uu^2,du = -12x,dx
Integrando:
integrall(u^-2+u^-1r),du = -tfrac12integraldxx ;Longrightarrow; -,1u + ln|u| = -tfrac12ln|x| + C

Passo 5

Voltando a y e x: como u=raizy/x>0
-,1u = -raizxy, ln u = tfrac12(ln y - ln x)
Substituindo na integral resolvida e simplificando em x>0:
-,raizxy + tfrac12ln y - tfrac12ln x = -tfrac12ln x + C ;Longrightarrow; -,raizxy + tfrac12ln y = C
Multiplicando tudo por 2:
ln y ;-;2raizxy = C1

Resposta

A solução geral (implícita) é
boxedln y - 2raizxy = C1,
com C1 constante de integração.

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