Resolva as EDO’s abaixo:
(x^2-y^2) d x-2 x y d y=0

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a gente precisa resolver. O enunciado nos apresenta uma Equação Diferencial Ordinária (EDO):
(x^2-y^2) dx - 2x y dy = 0
Para resolver essa equação, vamos usar conceitos de EDOs exatas e integração. Precisamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaz a equação.

Passo 2

Vamos começar identificando os termos da equação:
M = x^2 - y^2
N = -2x y
Em uma EDO na forma M dx + N dy = 0 , a equação é exata se partial Mpartial y = partial Npartial x.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partialpartial y (x^2 - y^2) = -2y
partial Npartial x = partialpartial x (-2x y) = -2y
Como partial Mpartial y = partial Npartial x, a equação é exata.

Passo 4

Sendo a equação exata, existe uma função F(x, y) tal que:
partial Fpartial x = M = x^2 - y^2
Vamos integrar M em relação a x para encontrar F(x, y) :
F(x, y) = integral (x^2 - y^2) dx = x^33 - y^2 x + h(y)
Aqui, h(y) é uma função de y que surge da integração.

Passo 5

Agora, encontramos a derivada parcial de F(x, y) em relação a y :
partial Fpartial y = partialpartial y ( x^33 - y^2 x + h(y) ) = -2y x + h'(y)
Essa derivada deve ser igual a N :
-2y x + h'(y) = -2x y

Passo 6

Comparando as duas expressões, percebemos que h'(y) = 0 . Isso significa que h(y) é uma constante, que podemos chamar de C .
Portanto, a função F(x, y) fica:
F(x, y) = x^33 - x y^2 = C

Resposta

A solução geral da EDO é:
x^33 - x y^2 = C
Onde C é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados