Resolva as EDO’s abaixo:
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a gente precisa resolver. O enunciado nos apresenta uma Equação Diferencial Ordinária (EDO):
Para resolver essa equação, vamos usar conceitos de EDOs exatas e integração. Precisamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaz a equação.
Passo 2
Vamos começar identificando os termos da equação:
Em uma EDO na forma
, a equação é exata se
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Sendo a equação exata, existe uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função de
que surge da integração.
Passo 5
Agora, encontramos a derivada parcial de
em relação a
:
Essa derivada deve ser igual a
:
Passo 6
Comparando as duas expressões, percebemos que
. Isso significa que
é uma constante, que podemos chamar de
.
Portanto, a função
fica:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
é uma constante arbitrária.