Resolva os EDOs abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada:
Conteúdo da matéria: Vamos precisar usar métodos para resolver EDOs de segunda ordem com coeficientes constantes. Isso inclui encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular para a parte não homogênea.
O que vamos precisar: Conhecimentos sobre equações características, soluções de equações homogêneas e o método de coeficientes a determinar para encontrar a solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Teoria: Para resolver a equação homogênea, usamos a equação característica, que é uma equação polinomial obtida substituindo
na EDO.
Passo 3
Escrevendo a equação característica:
Teoria: Essa é uma equação quadrática que podemos resolver para encontrar os valores de
.
Passo 4
Resolvendo a equação característica:
Calculando o discriminante:
Teoria: Como o discriminante
, temos raízes reais e repetidas.
Passo 5
Encontrando as raízes:
Então, a raiz dupla é
.
Passo 6
Montando a solução geral da equação homogênea:
Como temos uma raiz dupla
, a solução geral é:
Teoria: Quando a equação característica tem raízes reais e repetidas
, a solução geral da homogênea é
.
Passo 7
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Teoria: Usamos o método dos coeficientes a determinar. Observamos que o lado direito é
.
Passo 8
Propondo a forma da solução particular:
Como o termo do lado direito é
e
já está na solução homogênea, multiplicamos por
para evitar a duplicação:
Teoria: Quando o termo particular já está na solução homogênea, multiplicamos por
para obter uma solução distinta.
Passo 9
Calculando as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 10
Substituindo
,
e
na EDO original:
Simplificando:
Passo 11
Igualando ao lado direito da EDO:
Podemos igualar os coeficientes:
Para
:
Para o termo constante:
Substituindo
:
Passo 12
Com
e
, a solução particular é:
Passo 13
Finalmente, a solução geral da EDO é a soma da solução homogênea e da particular:
Podemos simplificar:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.