Resolva os EDOs abaixo:
y^prime prime-2 y^prime+y=(t+1) e^t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada:
y'' - 2y' + y = (t + 1)e^t
Conteúdo da matéria: Vamos precisar usar métodos para resolver EDOs de segunda ordem com coeficientes constantes. Isso inclui encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular para a parte não homogênea.
O que vamos precisar: Conhecimentos sobre equações características, soluções de equações homogêneas e o método de coeficientes a determinar para encontrar a solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' - 2y' + y = 0
Teoria: Para resolver a equação homogênea, usamos a equação característica, que é uma equação polinomial obtida substituindo y = e^rt na EDO.

Passo 3

Escrevendo a equação característica:
r^2 - 2r + 1 = 0
Teoria: Essa é uma equação quadrática que podemos resolver para encontrar os valores de r .

Passo 4

Resolvendo a equação característica:
r^2 - 2r + 1 = 0
Calculando o discriminante:
De<a = (-2)^2 - 4 cdot 1 cdot 1 = 4 - 4 = 0
Teoria: Como o discriminante De<a = 0 , temos raízes reais e repetidas.

Passo 5

Encontrando as raízes:
r = 2 pm raiz02 = 22 = 1
Então, a raiz dupla é r = 1 .

Passo 6

Montando a solução geral da equação homogênea:
Como temos uma raiz dupla r = 1 , a solução geral é:
yh(t) = (C1 + C2 t)e^t
Teoria: Quando a equação característica tem raízes reais e repetidas r , a solução geral da homogênea é yh = (C1 + C2 t)e^rt .

Passo 7

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( yp ) para a equação completa:
y'' - 2y' + y = (t + 1)e^t
Teoria: Usamos o método dos coeficientes a determinar. Observamos que o lado direito é (t + 1)e^t .

Passo 8

Propondo a forma da solução particular:
Como o termo do lado direito é (t + 1)e^t e e^t já está na solução homogênea, multiplicamos por t para evitar a duplicação:
yp(t) = t(A t + B)e^t = (A t^2 + B t)e^t
Teoria: Quando o termo particular já está na solução homogênea, multiplicamos por t para obter uma solução distinta.

Passo 9

Calculando as derivadas de yp(t) :
Primeira derivada:
yp' = ddt[(A t^2 + B t)e^t] = (2A t + B)e^t + (A t^2 + B t)e^t = (A t^2 + (2A + B)t + B)e^t
Segunda derivada:
yp'' = ddt[(A t^2 + (2A + B)t + B)e^t] = (2A t + (2A + B))e^t + (A t^2 + (2A + B)t + B)e^t
= (A t^2 + (4A + B)t + (2A + B))e^t

Passo 10

Substituindo yp , yp' e yp'' na EDO original:
yp'' - 2yp' + yp = (A t^2 + (4A + B)t + (2A + B))e^t - 2(A t^2 + (2A + B)t + B)e^t + (A t^2 + B t)e^t
Simplificando:
[A t^2 + (4A + B)t + (2A + B)]e^t - [2A t^2 + 2(2A + B)t + 2B]e^t + [A t^2 + B t]e^t
= [A t^2 + (4A + B)t + (2A + B) - 2A t^2 - (4A + 2B)t - 2B + A t^2 + B t]e^t
= [0 t^2 + (4A + B - 4A - 2B + B)t + (2A + B - 2B)]e^t
= [0 t^2 + (-B)t + (2A - B)]e^t

Passo 11

Igualando ao lado direito da EDO:
[-B t + (2A - B)]e^t = (t + 1)e^t
Podemos igualar os coeficientes:
Para t :
-B = 1 Rightarrow B = -1
Para o termo constante:
2A - B = 1
Substituindo B = -1 :
2A - (-1) = 1 Rightarrow 2A + 1 = 1 Rightarrow 2A = 0 Rightarrow A = 0

Passo 12

Com A = 0 e B = -1 , a solução particular é:
yp(t) = (0 cdot t^2 - 1 cdot t)e^t = -t e^t

Passo 13

Finalmente, a solução geral da EDO é a soma da solução homogênea e da particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = (C1 + C2 t)e^t - t e^t
Podemos simplificar:
y(t) = (C1 + (C2 - 1)t)e^t

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = (C1 + (C2 - 1)t)e^t
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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