Resolva os EDOs abaixo:
y^(4)-y^prime prime+2 y^prime+2 y=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO) de quarta ordem:
y^(4) - y'' + 2 y' + 2 y = 0
Estamos na matéria de Equações Lineares com Coeficientes Constantes, e para resolver isso, vamos precisar usar o método da equação característica. Basicamente, vamos transformar a EDO em uma equação algébrica para encontrar as soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica associada à EDO. Para uma equação diferencial linear de ordem n com coeficientes constantes, a equação característica é formada substituindo y^(k) por r^k .
Aqui, nossa EDO é:
y^(4) - y'' + 2 y' + 2 y = 0,
Então, substituindo, ficamos com:
r^4 - r^2 + 2 r + 2 = 0
Essa é nossa equação característica!

Passo 3

Agora, precisamos resolver essa equação de quarto grau:
r^4 - r^2 + 2 r + 2 = 0
Vamos tentar fatorar essa equação. Uma técnica comum é tentar fatorar em duas equações quadráticas. Vamos supor que:
(r^2 + a r + b)(r^2 + c r + d) = r^4 - r^2 + 2 r + 2
Expandindo o lado esquerdo:
r^4 + (a + c) r^3 + (ac + b + d) r^2 + (ad + bc) r + b d = r^4 - r^2 + 2 r + 2
Comparando os coeficientes, temos o sistema:
  1. a + c = 0 (porque não há termo r^3 na equação original)
  2. a c + b + d = -1
  3. a d + b c = 2
  4. b d = 2
Vamos resolver esse sistema:
  • Da primeira equação, c = -a .
  • Tentando valores inteiros para b e d que satisfaçam b d = 2 , temos: (1,2) , (2,1) , (-1,-2) , (-2,-1) .
Vamos testar b = 1 e d = 2 :
  • Da segunda equação: a(-a) + 1 + 2 = -a^2 + 3 = -1 Rightarrow -a^2 = -4 Rightarrow a^2 = 4 Rightarrow a = 2 ou a = -2 .
  • Usando a = 2 , da terceira equação: 2 times 2 + 1 times (-2) = 4 - 2 = 2 , que confere!
Então, a fatoração fica:
(r^2 + 2 r + 1)(r^2 - 2 r + 2) = 0

Passo 4

Agora, vamos encontrar as raízes de cada fator:
  1. Primeiro fator: r^2 + 2 r + 1 = 0
    Essa é uma equação quadrática perfeita:
(r + 1)^2 = 0 Rightarrow r = -1 (raiz dupla)
  1. Segundo fator: r^2 - 2 r + 2 = 0
    Usando a fórmula de Bhaskara:
r = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 times 1 times 22 times 1 = 2 pm raiz4 - 82 = 2 pm raiz-42 = 1 pm i
Então, as raízes são complexas: r = 1 + i e r = 1 - i .

Passo 5

Com as raízes encontradas, podemos montar a solução geral da EDO.
  • Para as raízes reais e múltiplas r = -1 (duas vezes), as soluções são:
y1(x) = e^-x e y2(x) = x e^-x
  • Para as raízes complexas r = 1 pm i , a solução geral associada é:
y3(x) = e^x ( C3 cos(x) + C4 sin(x) )
Juntando tudo, a solução geral é a soma dessas soluções.

Resposta

A solução geral da EDO é:
y(x) = (C1 + C2 x) e^-x + e^x ( C3 cos x + C4 sin x ),
onde C1, C2, C3 e C4 são constantes arbitrárias.

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