Resolva os EDOs abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO) de quarta ordem:
Estamos na matéria de Equações Lineares com Coeficientes Constantes, e para resolver isso, vamos precisar usar o método da equação característica. Basicamente, vamos transformar a EDO em uma equação algébrica para encontrar as soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica associada à EDO. Para uma equação diferencial linear de ordem
com coeficientes constantes, a equação característica é formada substituindo
por
.
Aqui, nossa EDO é:
Então, substituindo, ficamos com:
Essa é nossa equação característica!
Passo 3
Agora, precisamos resolver essa equação de quarto grau:
Vamos tentar fatorar essa equação. Uma técnica comum é tentar fatorar em duas equações quadráticas. Vamos supor que:
Expandindo o lado esquerdo:
Comparando os coeficientes, temos o sistema:
-
(porque não há termo na equação original) -
-
-
Vamos resolver esse sistema:
- Da primeira equação,
. - Tentando valores inteiros para
e que satisfaçam , temos: , , , .
Vamos testar
e
:
- Da segunda equação:
ou . - Usando
, da terceira equação: , que confere!
Então, a fatoração fica:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as raízes de cada fator:
-
Primeiro fator:Essa é uma equação quadrática perfeita:
-
Segundo fator:Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são complexas:
e
.
Passo 5
Com as raízes encontradas, podemos montar a solução geral da EDO.
- Para as raízes reais e múltiplas
(duas vezes), as soluções são:
- Para as raízes complexas
, a solução geral associada é:
Juntando tudo, a solução geral é a soma dessas soluções.
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde
e
são constantes arbitrárias.