Resolva as equações diferenciais abaixo, reduzindo-as à primeira ordem.
y^prime prime=2 y y^prime, com y, y^prime>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem
y'' = 2,y,y',
sob a condição y>0 e y'>0. Vamos usar o método de redução de ordem, tratando y' como função de y.

Passo 2

Observe que
y'' = ddx(y') = dy'dy,dydx = y',dy'dy
Substituindo isso em y''=2yy' vem
y',dy'dy = 2,y,y'

Passo 3

Como y'>0 podemos dividir ambos os lados por y', obtendo
dy'dy = 2,y
Agora integramos em relação a y:
integral ! dy' = integral 2,y,dy Longrightarrow y' = y^2 + C1,
onde C1 é constante de integração.

Passo 4

A equação fica agora de primeira ordem e separável:
dydx = y^2 + C1 Longrightarrow dyy^2 + C1 = dx

Passo 5

Integramos ambos os lados:
integral dyy^2 + C1 = integral dx = x + C2
Dependendo do sinal de C1 temos casos:
Para C1>0:
integral dyy^2 + C1 = 1raizC1arctan!l(tfracyraizC1r) = x + C2
Para C1=0:
integral dyy^2 = -1y = x + C2

Passo 6

Resumindo, a solução geral implícita é
integral dyy^2 + C1 = x + C2
Em forma explícita, para C1>0,
1raizC1arctan!l(yraizC1r)=x+C2 Longrightarrow y(x)=raizC1,tan!l[raizC1,(x+C2)r],
e para C1=0,
-1y=x+C2 Longrightarrow y(x)=-1,x+C2,
Como y>0 e y'>0, escolhemos os ramos de tan ou o domínio adequado de x para manter essas desigualdades.

Resposta

A equação de segunda ordem reduz-se a
y' = y^2 + C1
e a solução geral é dada implicitamente por
integral dyy^2 + C1 = x + C2,
ou explicitamente para C1>0
y(x)=raizC1,tan!l[raizC1,(x+C2)r]
e para C1=0
y(x)=-1,x+C2,

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