Resolva as equações diferenciais abaixo, reduzindo-as à primeira ordem.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem
sob a condição
e
. Vamos usar o método de redução de ordem, tratando
como função de
.
Passo 2
Observe que
Substituindo isso em
vem
Passo 3
Como
podemos dividir ambos os lados por
, obtendo
Agora integramos em relação a
:
onde
é constante de integração.
Passo 4
A equação fica agora de primeira ordem e separável:
Passo 5
Integramos ambos os lados:
Dependendo do sinal de
temos casos:
Para
:
Para
:
Passo 6
Resumindo, a solução geral implícita é
Em forma explícita, para
,
e para
,
Como
e
, escolhemos os ramos de
ou o domínio adequado de
para manter essas desigualdades.
Resposta
A equação de segunda ordem reduz-se a
e a solução geral é dada implicitamente por
ou explicitamente para
e para