(vale ) Determine a solução geral do sistema homogêneo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a solução geral de um sistema homogêneo de equações diferenciais da forma X' = AX , onde A é uma matriz 3x3. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar os valores próprios (autovalores) e os vetores próprios (autovetores) da matriz A . Esses conceitos são essenciais para resolver sistemas lineares como esse.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores próprios da matriz A . Os valores próprios são números lambda que satisfazem a equação característica:
Resolvendo esse sistema, encontramos dois vetores próprios independentes associados a lambda2 .
Passo 7
Com os valores próprios e vetores próprios em mãos, a solução geral do sistema homogêneo é dada por uma combinação linear das soluções correspondentes a cada par (lambda, v) :
X(t) = C1 e^lambda1 t v1 + C2 e^lambda2 t v2 + C3 e^lambda3 t v3
Onde C1, C2, C3 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.
Resposta
A solução geral do sistema é uma combinação linear dos vetores próprios multiplicados pelas exponenciais dos respectivos valores próprios, ou seja:
X(t) = C1 e^-3 t v1 + C2 e^-6 t v2 + C3 e^-6 t v3
Onde C1, C2, C3 são constantes e v1, v2, v3 são os vetores próprios correspondentes.