(vale 2,0 pts ) square Determine a solução geral do sistema homogêneo:
X^prime=[ccc -5 & 1 & 1 1 & -5 & 1 1 & 1 & -5 ] X

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a solução geral de um sistema homogêneo de equações diferenciais da forma X' = AX , onde A é uma matriz 3x3. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar os valores próprios (autovalores) e os vetores próprios (autovetores) da matriz A . Esses conceitos são essenciais para resolver sistemas lineares como esse.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores próprios da matriz A . Os valores próprios são números lambda que satisfazem a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Aqui, I é a matriz identidade de ordem 3.

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I :
A - lambda I = -5 - lambda & 1 & 1 1 & -5 - lambda & 1 1 & 1 & -5 - lambda
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (-5 - lambda)[(-5 - lambda)(-5 - lambda) - 1 cdot 1] - 1[1 cdot (-5 - lambda) - 1 cdot 1] + 1[1 cdot 1 - (-5 - lambda) cdot 1]
Depois de simplificar, obtemos o polinômio característico.

Passo 4

Resolvendo o determinante, encontramos que os valores próprios são:
lambda1 = -3, lambda2 = -6, lambda3 = -6
Notamos que lambda = -6 é um valor próprio com multiplicidade 2.

Passo 5

Agora, para cada valor próprio lambda , vamos encontrar o vetor próprio correspondente, resolvendo (A - lambda I)X = 0 .
Para lambda1 = -3 :
(A + 3I)X = 0 implies -2 & 1 & 1 1 & -2 & 1 1 & 1 & -2 X = 0
Resolvendo esse sistema, encontramos um vetor próprio associado a lambda1 .

Passo 6

Para lambda2 = -6 :
(A + 6I)X = 0 implies 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 X = 0
Resolvendo esse sistema, encontramos dois vetores próprios independentes associados a lambda2 .

Passo 7

Com os valores próprios e vetores próprios em mãos, a solução geral do sistema homogêneo é dada por uma combinação linear das soluções correspondentes a cada par (lambda, v) :
X(t) = C1 e^lambda1 t v1 + C2 e^lambda2 t v2 + C3 e^lambda3 t v3
Onde C1, C2, C3 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

A solução geral do sistema é uma combinação linear dos vetores próprios multiplicados pelas exponenciais dos respectivos valores próprios, ou seja:
X(t) = C1 e^-3 t v1 + C2 e^-6 t v2 + C3 e^-6 t v3
Onde C1, C2, C3 são constantes e v1, v2, v3 são os vetores próprios correspondentes.

Exercícios relacionados