Verifique as soluções da EDOs abaixo:
Teste se y(x)=x^{2}+1 satisfaz a equação \frac{d y}{d x}=\frac{x}{y}.

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar se a função y(x)=x^{2}+1 satisfaz a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função candidata é y(x)=x^{2}+1.
  • A equação exige que, para todo x no domínio considerado, a derivada de y seja igual a \dfrac{x}{y}.
  • O domínio natural de y(x)=x^{2}+1 é todo \mathbb{R} e y(x)=x^{2}+1\ge1, logo y(x) nunca é zero (não há problema de divisão por zero em \dfrac{x}{y}).

Passo 2

Calcular a derivada \dfrac{dy}{dx} da função candidata. Lembrete rápido (fórmula usada): a regra de potência diz que
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.
Aplicando à função y(x)=x^{2}+1:
\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)+\frac{d}{dx}(1)=2x+0=2x.

Passo 3

Calcular o lado direito da equação diferencial substituindo y(x)=x^{2}+1. Isso é apenas uma substituição algébrica:
\frac{x}{y}=\frac{x}{x^{2}+1}.

Passo 4

Comparar os dois lados: a função satisfaria a equação se tivéssemos, para todo x,
2x=\frac{x}{x^{2}+1}.
Vamos resolver essa igualdade para ver se ela vale para todos os x ou apenas para alguns pontos.
Multiplicando ambos os lados por x^{2}+1 (positivo para todo x), obtemos
2x(x^{2}+1)=x.
Desenvolvendo:
2x^{3}+2x=x.
Reorganizando:
2x^{3}+2x-x=0 \quad\Rightarrow\quad 2x^{3}+x=0.
Fatorando x:
x(2x^{2}+1)=0.
Agora analisar as soluções:
  • x=0 é uma solução.
  • Para 2x^{2}+1=0 ter solução seria preciso x^{2}=-\tfrac{1}{2}, o que não ocorre em \mathbb{R}. Logo não há outras soluções reais.
Portanto a igualdade 2x=\dfrac{x}{x^{2}+1} ocorre apenas em x=0.

Passo 5

Interpretação final (como testar soluções de EDO na prova): para ser solução da EDO em um intervalo, a função deve satisfazer a equação diferencial para todo x naquele intervalo. Aqui vimos que \dfrac{dy}{dx}=2x e \dfrac{x}{y}=\dfrac{x}{x^{2}+1} coincidem somente no ponto x=0, não para valores gerais de x. Logo y(x)=x^{2}+1 não é solução da equação diferencial em um intervalo, apenas satisfaz a igualdade pontualmente em x=0.

Resposta

Não. A função y(x)=x^{2}+1 não satisfaz a EDO \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x}{y} para todo x; satisfaz apenas em x=0.

Exercícios relacionados