Verifique as soluções da EDOs abaixo:
Teste se
satisfaz a equação
.
Teste se
Passo 1
O que o enunciado pede: verificar se a função
satisfaz a equação diferencial
Informações dadas e observações iniciais:
- A função candidata é
. - A equação exige que, para todo
no domínio considerado, a derivada de seja igual a . - O domínio natural de
é todo e , logo nunca é zero (não há problema de divisão por zero em ).
Passo 2
Calcular a derivada
da função candidata. Lembrete rápido (fórmula usada): a regra de potência diz que
Aplicando à função
:
Passo 3
Calcular o lado direito da equação diferencial substituindo
. Isso é apenas uma substituição algébrica:
Passo 4
Comparar os dois lados: a função satisfaria a equação se tivéssemos, para todo
,
Vamos resolver essa igualdade para ver se ela vale para todos os
ou apenas para alguns pontos.
Multiplicando ambos os lados por (positivo para todo
), obtemos
Multiplicando ambos os lados por
Desenvolvendo:
Reorganizando:
Fatorando
:
Agora analisar as soluções:
-
é uma solução. - Para
ter solução seria preciso , o que não ocorre em . Logo não há outras soluções reais.
Portanto a igualdade
ocorre apenas em
.
Passo 5
Interpretação final (como testar soluções de EDO na prova): para ser solução da EDO em um intervalo, a função deve satisfazer a equação diferencial para todo
naquele intervalo. Aqui vimos que
e
coincidem somente no ponto
, não para valores gerais de
. Logo
não é solução da equação diferencial em um intervalo, apenas satisfaz a igualdade pontualmente em
.
Resposta
Não. A função
não satisfaz a EDO
para todo
; satisfaz apenas em
.