Resolva as EDOs abaixo.
\left(1+x^{2}\right) d y+\left(x y+x^{3}+x\right) d x=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(1+x^{2})\,dy + (x\,y + x^{3} + x)\,dx = 0
que é de primeira ordem e pode ser vista como uma equação linear em y(x). Para resolver, vamos reescrevê-la na forma padrão
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x).

Passo 2

Dividindo toda a equação por dx e por (1+x^{2}), obtemos
\frac{dy}{dx} + \frac{x}{1+x^{2}}\,y = -\,\frac{x^{3}+x}{1+x^{2}}.

Passo 3

Aqui P(x)=\frac{x}{1+x^{2}}. Calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\!\Bigl(\int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx\Bigr) = \exp\!\Bigl(\tfrac12\ln(1+x^{2})\Bigr) = (1+x^{2})^{\tfrac12}.

Passo 4

Multiplicando a equação por \mu(x) faz o lado esquerdo virar a derivada de \mu(x)\,y. De fato,
(1+x^{2})^{\tfrac12}\,\frac{dy}{dx} + (1+x^{2})^{\tfrac12}\,\frac{x}{1+x^{2}}\,y =\frac{d}{dx}\Bigl[(1+x^{2})^{\tfrac12}y\Bigr].
E o lado direito fica
-\,\frac{x^{3}+x}{1+x^{2}}\,(1+x^{2})^{\tfrac12} =-\,x\,(1+x^{2})^{\tfrac12}.
Logo
\frac{d}{dx}\Bigl[(1+x^{2})^{\tfrac12}y\Bigr] = -\,x\,(1+x^{2})^{\tfrac12}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
(1+x^{2})^{\tfrac12}\,y = -\int x\,(1+x^{2})^{\tfrac12}\,dx + C.
Fazendo u=1+x^{2}, du=2x\,dx
\int x\,(1+x^{2})^{\tfrac12}\,dx =\frac12\int u^{\tfrac12}\,du =\frac{u^{\tfrac32}}{3} =\frac{(1+x^{2})^{\tfrac32}}{3}.
Portanto
(1+x^{2})^{\tfrac12}\,y = -\,\frac{(1+x^{2})^{\tfrac32}}{3} + C.

Passo 6

Isolando y, obtemos
y = -\,\frac{(1+x^{2})^{\tfrac32}}{3\,(1+x^{2})^{\tfrac12}} + \frac{C}{(1+x^{2})^{\tfrac12}} = -\,\frac{1+x^{2}}{3} + \frac{C}{\sqrt{1+x^{2}}}.

Resposta

\boxed{y(x) = -\,\frac{1+x^{2}}{3} + \frac{C}{\sqrt{1+x^{2}}},}
onde C é a constante de integração.

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