Resolva as EDOs abaixo.
\left(y^{3}-y^{2} \operatorname{sen} x-x\right) d x+\left(3 x y^{2}+2 y \cos x\right) d y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\bigl(y^{3}-y^{2}\sin x - x\bigr)\,dx \;+\;\bigl(3xy^{2}+2y\cos x\bigr)\,dy = 0
Esse é um caso clássico de equação exata. Vamos usar a teoria de equações exatas, que consiste em verificar se \partial M/\partial y = \partial N/\partial x
e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial \psi(x,y) tal que d\psi=0.

Passo 2

Identificamos as partes
M(x,y) = y^{3}-y^{2}\sin x - x,
N(x,y) = 3xy^{2}+2y\cos x.
Agora calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = 3y^{2} - 2y\sin x,
\frac{\partial N}{\partial x} = 3y^{2} - 2y\sin x.
Como \displaystyle\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x},
a equação é exata.

Passo 3

Para obter a função potencial \psi(x,y), integramos M em relação a x:
\psi(x,y) = \int \bigl(y^{3}-y^{2}\sin x - x\bigr)\,dx = x\,y^{3} + y^{2}\cos x - \frac{x^{2}}{2} + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Diferenciamos \psi em relação a y e igualamos a N(x,y):
\frac{\partial \psi}{\partial y} = 3x\,y^{2} + 2y\cos x + h'(y) \overset{!}{=} 3x\,y^{2} + 2y\cos x.
Daí h'(y)=0, logo h(y) é constante.

Passo 5

A solução geral implícita vem de
\psi(x,y)=C,
isto é,
x\,y^{3} + y^{2}\cos x - \frac{x^{2}}{2} = C.

Resposta

x\,y^{3} + y^{2}\cos x - \frac{x^{2}}{2} = C.

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