Resolva as EDOs abaixo.
\left(1+x^{2}+y^{2}+x^{2} y^{2}\right) d y=y^{2} d x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(1+x^{2}+y^{2}+x^{2}y^{2})\,dy = y^{2}\,dx.
O conteúdo aqui é equação de variáveis separáveis. Para resolver, vamos reconhecer fatores em x e y, separar as variáveis e integrar cada lado.

Passo 2

Observe que
1 + x^{2} + y^{2} + x^{2}y^{2} = (1+x^{2})(1+y^{2}).
Logo a equação fica
(1+x^{2})(1+y^{2})\,dy = y^{2}\,dx.

Passo 3

Reescrevendo em forma de separação, temos
\frac{1+y^{2}}{y^{2}}\,dy = \frac{1}{1+x^{2}}\,dx.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int\Bigl(\frac{1}{y^{2}} + 1\Bigr)\,dy = \int\frac{dx}{1+x^{2}}.

Passo 5

Calculando as integrais, obtemos
\int\frac{1}{y^{2}}\,dy = -\frac{1}{y}, \quad \int 1\,dy = y, \quad \int\frac{dx}{1+x^{2}} = \arctan x.
Portanto
-\frac{1}{y} + y = \arctan x + C,
que é a forma implícita da solução geral.

Resposta

-\frac{1}{y} + y = \arctan x + C.

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