Resolva os problemas de valor inicial abaixo.
\frac{d y}{d x}=\frac{y^{2}-1}{x^{2}+1} y(2)=2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx} = \frac{y^{2}-1}{x^{2}+1},
com condição inicial y(2)=2. O conteúdo envolve equações diferenciais separáveis, em que devemos isolar y de um lado e x do outro e integrar.

Passo 2

Separemos as variáveis:
\int \frac{dy}{y^{2}-1} \;=\;\int \frac{dx}{x^{2}+1}.

Passo 3

Para integrar o lado esquerdo usamos frações parciais:
\frac{1}{y^{2}-1} =\frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{y-1}-\frac{1}{y+1}\Bigr).
Logo
\int \frac{dy}{y^{2}-1} =\frac{1}{2}\ln\Bigl|\frac{y-1}{y+1}\Bigr| + C_{1}.

Passo 4

O lado direito é a integral clássica de arctan:
\int \frac{dx}{x^{2}+1} =\arctan(x) + C_{2}.

Passo 5

Igualando resultados e reunindo constantes C=C_{2}-C_{1}:
\frac{1}{2}\ln\Bigl|\frac{y-1}{y+1}\Bigr| =\arctan(x)+C \;\Longrightarrow\; \ln\Bigl|\frac{y-1}{y+1}\Bigr| =2\arctan(x)+D,
onde D=2C. Exponenciando:
\frac{y-1}{y+1}=K\,e^{2\arctan(x)},
com K=e^{D}.

Passo 6

Da relação \frac{y-1}{y+1}=K\,e^{2\arctan(x)} isolamos y:
y-1 = K\,e^{2\arctan(x)}(y+1) \;\Longrightarrow\; y\bigl(1 - K\,e^{2\arctan(x)}\bigr) =1 + K\,e^{2\arctan(x)},
y(x) =\frac{1 + K\,e^{2\arctan(x)}}{1 - K\,e^{2\arctan(x)}}.

Passo 7

Impondo y(2)=2, seja A=K\,e^{2\arctan(2)}. Então
2=\frac{1+A}{1-A} \;\Longrightarrow\; 2(1-A)=1+A \;\Longrightarrow\; 2-2A=1+A \;\Longrightarrow\; 3A=1 \;\Longrightarrow\; A=\tfrac{1}{3}.
Logo
K=\tfrac{1}{3}\,e^{-2\arctan(2)}.
Substituindo em y(x):
y(x) =\frac{1 + \tfrac{1}{3}\,e^{2(\arctan(x)-\arctan(2))}} {1 - \tfrac{1}{3}\,e^{2(\arctan(x)-\arctan(2))}}.

Resposta

y(x) =\frac{1 + \tfrac{1}{3}\,\exp\bigl(2[\arctan(x)-\arctan(2)]\bigr)} {1 - \tfrac{1}{3}\,\exp\bigl(2[\arctan(x)-\arctan(2)]\bigr)}.

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