Resolva as EDOs abaixo.
\left(x^{4}+y^{4}\right) d x-2 x^{3} y d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(x^4 + y^4)\,dx \;-\;2x^3y\,dy = 0
que podemos escrever como
\frac{dy}{dx} \;=\;\frac{x^4 + y^4}{2x^3y}.
Isso é uma EDO de primeira ordem homogênea, pois o quociente do lado direito depende só de y/x. Para resolver, vamos usar a substituição
y = v\,x,
onde v é função de x.

Passo 2

Com y=v\,x temos
\frac{dy}{dx} = v + x\,\frac{dv}{dx}.
Substituindo na EDO original:
v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x^4 + (v x)^4}{2x^3\,(v x)} = \frac{x^4\bigl(1+v^4\bigr)}{2v\,x^4} = \frac{1+v^4}{2v}.

Passo 3

Isolando o termo com dv/dx:
x\frac{dv}{dx} = \frac{1+v^4}{2v} \;-\; v = \frac{1+v^4 - 2v^2}{2v} = \frac{(v^2-1)^2}{2v}.

Passo 4

Fazemos a separação de variáveis:
\frac{2v}{(v^2-1)^2}\,dv = \frac{dx}{x}.
Agora integramos ambos os lados:
\int \frac{2v}{(v^2-1)^2}\,dv = \int \frac{dx}{x}.
Na integral da esquerda fazemos u = v^2-1, du=2v\,dv, obtendo
\int u^{-2}\,du = -\,u^{-1} = -\frac{1}{v^2-1},
enquanto a direita dá \ln|x| + C. Logo
-\frac{1}{v^2-1} = \ln|x| + C.

Passo 5

Voltando à variável original v = y/x, escrevemos
-\frac{1}{\frac{y^2}{x^2}-1} = \ln|x| + C.
Note que
\frac{1}{\frac{y^2}{x^2}-1} = \frac{x^2}{y^2 - x^2},
então
-\frac{x^2}{y^2-x^2} = \ln|x| + C.
Multiplicando por -1 e reagrupando a constante, obtemos a forma implícita mais simples:

Resposta

\frac{x^2}{y^2 - x^2} \;+\; \ln\bigl|x\bigr| = C.

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