Resolva as EDOs abaixo separando as variáveis (f(y) d y=g(x) d x) e integrando.
13. y^{\prime}=y / x
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
y'=\frac{y}{x}
e pede para resolvê‑la separando as variáveis no formato f(y)\,dy=g(x)\,dx e integrando.
Informações relevantes que temos:
A incógnita é a função y(x).
A equação aparece na forma y'=\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y}{x}.
Atenção: a expressão \dfrac{y}{x} exige x\neq0 ao dividir por x; tratando separação, também precisamos y\neq0 momentaneamente ao dividir por y. Porém a solução y\equiv0 pode existir e deve ser lembrada.
Passo 2
Reescrevendo a derivada de modo explícito temos
\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}.
Agora vamos separar as variáveis: colocar todos os termos com y multiplicando dy de um lado e todos os termos com x multiplicando dx do outro. Dividindo ambos os lados por y (assumindo momentaneamente y\neq0) e multiplicando por dx obtemos
\frac{1}{y}\,dy=\frac{1}{x}\,dx.
Aqui fizemos apenas operações algébricas elementares: dividir por y e por x. Isso isola as variáveis para poder integrar.
Passo 3
Integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy=\int \frac{1}{x}\,dx.
Lembrete importante de cálculo: a integral indefinida
\int \frac{1}{u}\,du=\ln|u|+C,
onde C é uma constante arbitrária, e o valor absoluto aparece porque a função 1/u tem antiderivada \ln|u| válida para u\neq0. Aplicando isso aos dois lados obtemos
\ln|y|=\ln|x|+C,
onde C é uma constante de integração.
Passo 4
Isolamos y. Subtraindo \ln|x| dos dois lados:
\ln\!\left|\frac{y}{x}\right|=C.
Exponenciando ambos os lados (isto é, aplicando e^{(\cdot)}) resulta
\left|\frac{y}{x}\right|=e^{C}.
Definindo C_1:=e^{C}>0 (uma constante positiva), temos \left|\dfrac{y}{x}\right|=C_1. Isso implica que \dfrac{y}{x} é uma constante real; escrevemos então, de forma mais simples, com uma constante C que pode ser qualquer número real:
y=Cx,
onde agora C\in\mathbb{R}. Note que a escolha C=0 dá a solução y\equiv0, que é permitida e bem definida mesmo em x=0.
Passo 5
Verificação rápida: se y(x)=Cx então \dfrac{dy}{dx}=C e \dfrac{y}{x}=\dfrac{Cx}{x}=C, logo \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y}{x} é satisfeita. Portanto a família y=Cx com C\in\mathbb{R} é a solução geral.
Comentário prático: se der uma condição inicial y(x_0)=y_0 com x_0\neq0, determina‑se C por