Resolva as EDOs abaixo separando as variáveis
integrando.
14.
14.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
e pede que a resolvamos por separação de variáveis (isto é, escrevendo algo do tipo
e integrando).
Informações relevantes que extraí do enunciado:
Informações relevantes que extraí do enunciado:
- A equação é de primeira ordem e é separável.
- Deve-se atentar para possíveis soluções constantes e para valores de
onde a expressão não faz sentido (por exemplo ). - Não foram dadas condições iniciais: encontraremos a família geral de soluções com constante de integração.
Passo 2
Antes de separar variáveis, identifiquemos soluções óbvias que a operação de dividir por
poderia eliminar: se
for identicamente zero, então
e o lado direito
, então
é solução. Vamos anotar isso como caso especial e depois tratar a separação assumindo
.
Também observamos que a equação usa
, logo
em qualquer intervalo onde a solução seja considerada pelo método padrão (pode haver soluções definidas em
ou
separadamente).
Passo 3
Agora se
podemos separar as variáveis. Escrevemos
e rearranjamos:
Explicação didática: separar variáveis significa colocar todas as quantidades que dependem de
multiplicando
de um lado, e todas as que dependem de
multiplicando
do outro. Aqui dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
.
Passo 4
Integramos ambos os lados. Vou mostrar as antiderivadas usadas:
- Regra básica:
para . No nosso caso , logo
- Outra regra:
.
Aplicando as integrais:
onde
é a constante de integração (uma constante real arbitrária).
Passo 5
Agora isolamos
. A equação implícita obtida é
Invertendo e reorganizando a constante, podemos definir
e obter uma forma mais simples:
onde
é constante arbitrária. Observações importantes:
- Essa família vale em intervalos onde
e onde o denominador não se anula. Quando o denominador se aproxima de zero a solução tem singularidade (tende a ). - Não esquecer da solução constante especial
que não aparece ao dividir por .
Passo 6
Checagem rápida (sintética): derivando
por
e substituindo verifica-se que
(isso pode ser conferido usando regra da cadeia e
), então a solução está correta.