Resolva as EDOs abaixo separando as variáveis (f(y) d y=g(x) d x) e integrando.
14. y^{\prime}=\frac{y^{2}}{x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
y'=\frac{y^{2}}{x}
e pede que a resolvamos por separação de variáveis (isto é, escrevendo algo do tipo f(y)\,dy=g(x)\,dx e integrando).
Informações relevantes que extraí do enunciado:
  • A equação é de primeira ordem e é separável.
  • Deve-se atentar para possíveis soluções constantes e para valores de x onde a expressão não faz sentido (por exemplo x=0).
  • Não foram dadas condições iniciais: encontraremos a família geral de soluções com constante de integração.

Passo 2

Antes de separar variáveis, identifiquemos soluções óbvias que a operação de dividir por y poderia eliminar: se y for identicamente zero, então y'=0 e o lado direito \dfrac{y^2}{x}=0, então y\equiv0 é solução. Vamos anotar isso como caso especial e depois tratar a separação assumindo y\neq0.
Também observamos que a equação usa \dfrac{1}{x}, logo x\neq0 em qualquer intervalo onde a solução seja considerada pelo método padrão (pode haver soluções definidas em x>0 ou x<0 separadamente).

Passo 3

Agora se y\neq0 podemos separar as variáveis. Escrevemos y'=\dfrac{dy}{dx} e rearranjamos:
\frac{dy}{dx}=\frac{y^{2}}{x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{y^{2}}=\frac{dx}{x}.
Explicação didática: separar variáveis significa colocar todas as quantidades que dependem de y multiplicando dy de um lado, e todas as que dependem de x multiplicando dx do outro. Aqui dividimos ambos os lados por y^{2} e multiplicamos por dx.

Passo 4

Integramos ambos os lados. Vou mostrar as antiderivadas usadas:
  • Regra básica: \displaystyle\int y^{n}\,dy = \frac{y^{n+1}}{n+1}+C para n\neq-1. No nosso caso n=-2, logo
\int y^{-2}\,dy = \frac{y^{-1}}{-1} = -\frac{1}{y}.
  • Outra regra: \displaystyle\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C.
Aplicando as integrais:
\int \frac{dy}{y^{2}} = \int \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad -\frac{1}{y} = \ln|x| + C,
onde C é a constante de integração (uma constante real arbitrária).

Passo 5

Agora isolamos y. A equação implícita obtida é
-\frac{1}{y}=\ln|x|+C.
Invertendo e reorganizando a constante, podemos definir C_{1}=-C e obter uma forma mais simples:
\frac{1}{y}=C_{1}-\ln|x| \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{1}{C_{1}-\ln|x|},
onde C_{1}\in\mathbb{R} é constante arbitrária. Observações importantes:
  • Essa família vale em intervalos onde x\neq0 e onde o denominador C_{1}-\ln|x| não se anula. Quando o denominador se aproxima de zero a solução tem singularidade (tende a \pm\infty).
  • Não esquecer da solução constante especial y\equiv0 que não aparece ao dividir por y^{2}.

Passo 6

Checagem rápida (sintética): derivando y=\dfrac{1}{C_{1}-\ln|x|} por x e substituindo verifica-se que \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y^{2}}{x} (isso pode ser conferido usando regra da cadeia e \dfrac{d}{dx}\ln|x|=\dfrac{1}{x}), então a solução está correta.

Resposta

y\equiv 0
y=\dfrac{1}{C-\ln|x|},\quad C\in\mathbb{R}

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