Resolva as EDOs abaixo separando as variáveis
integrando.
15.
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Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede para separarmos as variáveis na forma
e integrar para obter a solução geral. Informações úteis dadas:
- A equação diferencial exata a resolver é
. - Deve-se separar as variáveis e integrar.
- A solução irá envolver uma constante arbitrária (constante de integração).
Passo 2
Reescrever a equação colocando termos com
(e
) de um lado e termos com
(e
) do outro. Somando
aos dois lados obtemos:
Isto já está no formato separado: a parte em
(com
) está num lado e a parte em
(com
) está no outro. Em outras palavras, aqui temos
com
e
.
Passo 3
Agora integramos ambos os lados. Escrevendo a integral de cada lado:
Vou explicar as integrais usadas:
- Regra da potência:
para . - A integral de uma soma é a soma das integrais:
.
Aplicando isso:
-
, porque é o caso com . -
. -
.
Portanto, integrando obtemos
onde
é a constante de integração (colocada no lado direito).
Passo 4
Multiplicamos tudo por
para simplificar a expressão:
onde
é outra constante arbitrária (renomeação comum das constantes de integração). É válido renomear constantes porque qualquer constante multiplicada por 2 ainda é uma constante arbitrária.
Passo 5
Se quisermos a forma explícita para
, extraímos a raiz quadrada. Lembre que a raiz pode ser positiva ou negativa, então:
Observações sobre domínio e sinal:
- O sinal
representa as duas famílias de soluções locais (a positiva e a negativa). - O domínio (valores de
permitidos) depende do sinal da expressão dentro da raiz; para que seja real é preciso nos pontos considerados.
Passo 6
Uma forma alternativa de escrever a solução é completando o quadrado no termo em
. Como
podemos escrever a solução implícita como
onde
é mais uma constante arbitrária. Esta forma às vezes ajuda a interpretar curvas no plano
(são hipérboles/deslocamentos dependendo do valor da constante).