Resolva as EDOs abaixo separando as variáveis (f(y) d y=g(x) d x) e integrando.
15. (x+1) d x-y d y=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
(x+1)\,dx - y\,dy = 0
e pede para separarmos as variáveis na forma f(y)\,dy = g(x)\,dx e integrar para obter a solução geral. Informações úteis dadas:
  • A equação diferencial exata a resolver é (x+1)\,dx - y\,dy = 0.
  • Deve-se separar as variáveis e integrar.
  • A solução irá envolver uma constante arbitrária (constante de integração).

Passo 2

Reescrever a equação colocando termos com x (e dx) de um lado e termos com y (e dy) do outro. Somando y\,dy aos dois lados obtemos:
(x+1)\,dx = y\,dy.
Isto já está no formato separado: a parte em x (com dx) está num lado e a parte em y (com dy) está no outro. Em outras palavras, aqui temos g(x)\,dx = f(y)\,dy com g(x)=x+1 e f(y)=y.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. Escrevendo a integral de cada lado:
\int y\,dy = \int (x+1)\,dx.
Vou explicar as integrais usadas:
  • Regra da potência: \int t^n\,dt = \dfrac{t^{n+1}}{n+1} + C para n\neq -1.
  • A integral de uma soma é a soma das integrais: \int (x+1)\,dx = \int x\,dx + \int 1\,dx.
Aplicando isso:
  • \displaystyle \int y\,dy = \frac{1}{2}y^2, porque é o caso com n=1.
  • \displaystyle \int x\,dx = \frac{1}{2}x^2.
  • \displaystyle \int 1\,dx = x.
Portanto, integrando obtemos
\frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{2}x^2 + x + C,
onde C é a constante de integração (colocada no lado direito).

Passo 4

Multiplicamos tudo por 2 para simplificar a expressão:
y^2 = x^2 + 2x + C',
onde C'=2C é outra constante arbitrária (renomeação comum das constantes de integração). É válido renomear constantes porque qualquer constante multiplicada por 2 ainda é uma constante arbitrária.

Passo 5

Se quisermos a forma explícita para y, extraímos a raiz quadrada. Lembre que a raiz pode ser positiva ou negativa, então:
y = \pm\sqrt{x^2 + 2x + C'}.
Observações sobre domínio e sinal:
  • O sinal \pm representa as duas famílias de soluções locais (a positiva e a negativa).
  • O domínio (valores de x permitidos) depende do sinal da expressão dentro da raiz; para que y seja real é preciso x^2+2x+C'\ge 0 nos pontos considerados.

Passo 6

Uma forma alternativa de escrever a solução é completando o quadrado no termo em x. Como
x^2+2x = (x+1)^2 -1,
podemos escrever a solução implícita como
y^2 = (x+1)^2 + C'',
onde C''=C'-1 é mais uma constante arbitrária. Esta forma às vezes ajuda a interpretar curvas no plano (x,y) (são hipérboles/deslocamentos dependendo do valor da constante).

Resposta

y^2 = x^2 + 2x + C\n
y = \pm\sqrt{x^2 + 2x + C}

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