Resolva as EDOs abaixo. (valor: 6,0 )
\left(x^{2}+x y-3 y^{2}\right) d x-\left(x^{2}+2 x y\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem
\bigl(x^{2}+x y-3y^{2}\bigr)\,dx-\bigl(x^{2}+2xy\bigr)\,dy=0
Este é um caso clássico de equação homogênea (os dois termos são polinômios de grau 2). Vamos usar a substituição
y=vx,
que reduz a EDO a uma equação separável em v e x.

Passo 2

Primeiro escrevemos a EDO na forma
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0,
onde
M(x,y)=x^{2}+xy-3y^{2},\quad N(x,y)=-\bigl(x^{2}+2xy\bigr).
Logo
\frac{dy}{dx}=-\frac{M}{N} =\frac{x^{2}+xy-3y^{2}}{x^{2}+2xy}.
Dividindo numerador e denominador por x^{2} obtemos
\frac{dy}{dx} =\frac{1+\frac{y}{x}-3\bigl(\frac{y}{x}\bigr)^{2}}{1+2\frac{y}{x}} =\frac{1+v-3v^{2}}{1+2v}.

Passo 3

Com y=vx temos
\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.
Igualando às expressões anteriores:
v+x\frac{dv}{dx} =\frac{1+v-3v^{2}}{1+2v} \quad\Longrightarrow\quad x\frac{dv}{dx} =\frac{1+v-3v^{2}}{1+2v}-v =\frac{1-5v^{2}}{1+2v}.

Passo 4

Separe variáveis:
\frac{1+2v}{1-5v^{2}}\,dv =\frac{dx}{x}.
Integramos cada lado:
\int\frac{1+2v}{1-5v^{2}}\,dv =\int\frac{dx}{x}.
Para o lado esquerdo, escrevemos
\frac{1+2v}{1-5v^{2}} =\frac{1}{1-5v^{2}}+\frac{2v}{1-5v^{2}},
de onde
\int\frac{dv}{1-5v^{2}} =\frac{1}{2\sqrt5}\ln\left|\frac{1+\sqrt5\,v}{1-\sqrt5\,v}\right|,
\int\frac{2v\,dv}{1-5v^{2}} =-\frac{1}{5}\ln\bigl|1-5v^{2}\bigr|.
Assim
\frac{1}{2\sqrt5}\ln\left|\frac{1+\sqrt5\,v}{1-\sqrt5\,v}\right| -\frac{1}{5}\ln\bigl|1-5v^{2}\bigr| =\ln\lvert x\rvert + C.

Passo 5

Voltando a v=\tfrac{y}{x}, a solução geral fica implícita em
\frac{1}{2\sqrt5}\ln\left|\frac{1+\sqrt5\,\frac{y}{x}}{1-\sqrt5\,\frac{y}{x}}\right| -\frac{1}{5}\ln\!\bigl|1-5\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)^{2}\bigr| =\ln\lvert x\rvert + C.

Resposta

\frac{1}{2\sqrt5}\ln\left|\frac{1+\sqrt5\,\frac{y}{x}}{1-\sqrt5\,\frac{y}{x}}\right| -\frac{1}{5}\ln\!\Bigl|1-5\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)^{2}\Bigr| =\ln\lvert x\rvert + C.

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