Resolva o problema de valor inicial abaixo. (valor: 1,5 )
x \frac{d y}{d x}+4 y=x^{3}-x \quad y(1)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
x\,\frac{dy}{dx} + 4\,y = x^{3} - x,
com condição inicial y(1)=0. Vamos usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão \frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x) dividindo por x:
\frac{dy}{dx} + \frac{4}{x}\,y = x^{2} - 1.
Aqui P(x)=4/x e Q(x)=x^{2}-1.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\!\Bigl(\int \frac{4}{x}\,dx\Bigr) = x^{4}.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por \mu(x)=x^{4}:
x^{4}\frac{dy}{dx} + 4\,x^{3}y = x^{4}\,(x^{2}-1) = x^{6} - x^{4}.
O lado esquerdo é \frac{d}{dx}(x^{4}y).

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}(x^{4}y) = x^{6} - x^{4} \quad\Longrightarrow\quad x^{4}y = \int (x^{6}-x^{4})\,dx = \frac{x^{7}}{7} - \frac{x^{5}}{5} + C.

Passo 6

Isolamos y:
y = \frac{\frac{x^{7}}{7} - \frac{x^{5}}{5} + C}{x^{4}} = \frac{x^{3}}{7} - \frac{x}{5} + C\,x^{-4}.

Passo 7

Usamos y(1)=0 para achar C:
0 = \frac{1^{3}}{7} - \frac{1}{5} + C\quad\Longrightarrow\quad C = \frac{1}{5} - \frac{1}{7} = \frac{2}{35}.

Passo 8

Substituindo C=\tfrac{2}{35} em y(x), obtemos a solução particular:
y(x) = \frac{x^{3}}{7} - \frac{x}{5} + \frac{2}{35}\,x^{-4}.

Resposta

y(x) = \frac{x^{3}}{7} - \frac{x}{5} + \frac{2}{35}\,x^{-4}.

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