Resolva as EDO’s:
(d) y^{\prime \prime}-y^{\prime}=\ln (x)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-y'=\ln(x).
O método será: (i) achar a solução geral da homogênea associada, (ii) obter uma solução particular via redução de ordem definindo u=y' e resolvendo uma EDO de primeira ordem, e (iii) integrar para voltar a y.

Passo 2

A homogênea é
y''-y'=0.
Assumindo y_h=e^{rx} obtemos o polinômio característico
r^2-r=0\quad\Longrightarrow\quad r=0,\,1.
Logo
y_h(x)=C_1 + C_2 e^{x}.

Passo 3

Para achar uma particular, defina
u(x)=y'(x).
Então u'=y'' e a EDO torna-se de primeira ordem linear em u:
u'-u=\ln(x).

Passo 4

O fator integrante é e^{-x}. Multiplicando toda a equação por e^{-x}
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}u\bigr)=e^{-x}\ln(x).
Integrando,
e^{-x}u=\int e^{-x}\ln(x)\,dx +A.
Fazendo integração por partes em \displaystyle\int e^{-x}\ln(x)\,dx:
\int e^{-x}\ln(x)\,dx =-e^{-x}\ln(x)+\int\frac{e^{-x}}{x}\,dx =-e^{-x}\ln(x)+\mathrm{Ei}(-x),
onde \mathrm{Ei} é a integral exponencial. Assim
e^{-x}u=-e^{-x}\ln(x)+\mathrm{Ei}(-x)+A \quad\Longrightarrow\quad u=y'=-\ln(x)+e^{x}\mathrm{Ei}(-x)+A\,e^{x}.

Passo 5

Agora integramos y'=u:
y=\int\bigl(-\ln(x)+e^{x}\mathrm{Ei}(-x)+A\,e^{x}\bigr)\,dx.
Calculamos termo a termo:
\int -\ln(x)\,dx=-x\ln(x)+x,\quad \int e^{x}\mathrm{Ei}(-x)\,dx =e^{x}\mathrm{Ei}(-x)-\ln(x),\quad \int A\,e^{x}\,dx=A\,e^{x}.
Logo
y=-x\ln(x)+x + e^{x}\mathrm{Ei}(-x)-\ln(x)+A\,e^{x}+B.
Renomeando as constantes C_2=A e C_1=B, obtemos a solução geral:

Resposta

\boxed{ y(x)=C_1 + C_2 e^{x} + e^{x}\mathrm{Ei}(-x)\;-\;(x+1)\ln(x)\;+\;x, }
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias.

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