Resolva as EDO’s:
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
O método será: (i) achar a solução geral da homogênea associada, (ii) obter uma solução particular via redução de ordem definindo
e resolvendo uma EDO de primeira ordem, e (iii) integrar para voltar a
.
Passo 2
A homogênea é
Assumindo
obtemos o polinômio característico
Logo
Passo 3
Para achar uma particular, defina
Então
e a EDO torna-se de primeira ordem linear em
:
Passo 4
O fator integrante é
. Multiplicando toda a equação por
dá
Integrando,
Fazendo integração por partes em
:
onde
é a integral exponencial. Assim
Passo 5
Agora integramos
:
Calculamos termo a termo:
Logo
Renomeando as constantes
e
, obtemos a solução geral:
Resposta
onde
são constantes arbitrárias.