Resolva as EDO’s:
(e) y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=5 e^{x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 4y' + 3y = 5e^x
e pede sua solução geral. Para resolver, vamos usar o método da equação característica para a parte homogênea e o método dos coeficientes a determinar para obter uma solução particular.

Passo 2

Primeiro achamos a solução geral da equação homogênea associada
y'' - 4y' + 3y = 0.
Formamos a equação característica
r^2 - 4r + 3 = 0
e encontramos as raízes.

Passo 3

Resolvendo
r^2 - 4r + 3 = (r-1)(r-3)=0
temos r_1=1 e r_2=3. Logo a solução homogênea é
y_h = C_1 e^x + C_2 e^{3x}.

Passo 4

Para a solução particular usamos o método dos coeficientes a determinar. Como o segundo membro é 5e^x e e^x já está na solução homogênea (raiz simples r=1), tentamos
y_p = A x e^x.
Calculamos as derivadas:
y_p' = A e^x(x+1),
y_p'' = A e^x(x+2).
Substituindo em y''-4y'+3y:
y_p'' - 4y_p' + 3y_p = A e^x\bigl(x+2 -4(x+1) +3x\bigr) = A e^x\bigl(0\cdot x -2\bigr) = -2A e^x.
Igualando a 5e^x obtemos
-2A e^x = 5e^x \quad\Longrightarrow\quad A = -\tfrac{5}{2}.
Logo
y_p = -\tfrac{5}{2}\,x e^x.

Passo 5

A solução geral da equação não-homogênea é a soma de y_h com y_p:
y = C_1 e^x + C_2 e^{3x} - \tfrac{5}{2}\,x e^x.

Resposta

y = C_1 e^x + C_2 e^{3x} - \tfrac{5}{2}\,x e^x.

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