Resolva as EDO’s:
(f) y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=5 e^{3 x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO não homogênea
y'' - 6y' + 9y = 5e^{3x}.
O conteúdo é equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos primeiro achar a solução geral da equação homogênea associada e depois um particular para o termo 5e^{3x}.

Passo 2

A equação homogênea é
y'' - 6y' + 9y = 0.
A equação característica é
r^2 - 6r + 9 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (r-3)^2 = 0,
logo temos raiz dupla r=3. Portanto a solução homogênea é
y_h = C_1 e^{3x} + C_2\,x e^{3x}.

Passo 3

Para encontrar uma solução particular y_p ao termo 5e^{3x}, notamos que e^{3x} já aparece na homogênea com multiplicidade 2. Então tentamos
y_p = A x^2 e^{3x},
once A é constante a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p:
y_p = A x^2 e^{3x},\quad y_p' = A e^{3x}(3x^2 + 2x),\quad y_p'' = A e^{3x}(9x^2 + 12x + 2).
Substituindo em y'' - 6y' + 9y:
y_p'' - 6y_p' + 9y_p = A e^{3x}\bigl[(9x^2+12x+2) -6(3x^2+2x)+9x^2\bigr] = A e^{3x}\cdot 2 = 2A e^{3x}.
Para que isso seja igual a 5e^{3x}, precisamos de 2A=5, ou seja
A = \tfrac{5}{2}.

Resposta

y(x) = C_1 e^{3x} + C_2\,x e^{3x} + \frac{5}{2}\,x^2 e^{3x}.

Exercícios relacionados