Verifique se a função dada é solução da equação diferencial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O objetivo aqui é verificar se a função $ y(x) = x + x \ln x $ é uma solução da equação diferencial $ x^{2} y’’ - x y’ + y = 0 $. Para isso, vamos precisar calcular as primeiras e segundas derivadas de $ y(x) $ e substituir na equação para ver se iguala a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de $ y(x) $. A derivada de $ x $ é 1, e a derivada de $ x \ln x $ requer a regra do produto.
A regra do produto diz que se temos uma função $ u(x) \cdot v(x) $, sua derivada é $ u’(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v’(x) $.
Então, para $ y(x) = x + x \ln x $:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada $ y’’(x) $. A derivada de $ y’(x) = 2 + \ln x $ é:
Passo 4
Com as derivadas em mãos, vamos substituir $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $ na equação diferencial dada:
Simplificando cada termo:
Passo 5
Agora, somamos todos os termos:
Simplificando:
Resposta
Como a substituição resulta em 0, a função $ y(x) = x + x \ln x $ é, de fato, uma solução da equação diferencial dada.