Verifique se a função dada é solução da equação diferencial
x^2 y^prime prime-x y^prime+y=0 ; y(x)=x+x ln x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O objetivo aqui é verificar se a função $ y(x) = x + x \ln x $ é uma solução da equação diferencial $ x^{2} y’’ - x y’ + y = 0 $. Para isso, vamos precisar calcular as primeiras e segundas derivadas de $ y(x) $ e substituir na equação para ver se iguala a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de $ y(x) $. A derivada de $ x $ é 1, e a derivada de $ x \ln x $ requer a regra do produto.
A regra do produto diz que se temos uma função $ u(x) \cdot v(x) $, sua derivada é $ u’(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v’(x) $.
Então, para $ y(x) = x + x \ln x $:
y(x)

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada $ y’’(x) $. A derivada de $ y’(x) = 2 + \ln x $ é:
y''(x)

Passo 4

Com as derivadas em mãos, vamos substituir $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $ na equação diferencial dada:
y
Simplificando cada termo:
y'
y''
x^2 y'' - x y' + y = x^2 cdot 1x - x cdot (2 + ln x) + (x + x ln x)

Passo 5

Agora, somamos todos os termos:
x - 2x - x ln x + x + x ln x
Simplificando:
(x - 2x + x) + (-x ln x + x ln x) = 0 + 0 = 0

Resposta

Como a substituição resulta em 0, a função $ y(x) = x + x \ln x $ é, de fato, uma solução da equação diferencial dada.

Exercícios relacionados