Resolva as EDO’s de Euler-Cauchy não-homogêneas
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de Euler–Cauchy não-homogênea
que é do tipo
com
,
,
, exceto pelo fator
à esquerda. Vamos usar a mudança de variável
e em seguida a transformação de Euler–Cauchy para ODE com coeficientes constantes usando
.
Passo 2
Definindo
, temos
A equação torna-se
Dividindo tudo por
para simplificar,
Passo 3
Agora fazemos a troca de variável típica de Euler–Cauchy:
Então
onde
,
. Substituindo em
(observando
), obtemos
Passo 4
Resolvemos primeiro a equação homogênea
A equação característica é
Logo, a solução geral homogênea em
é
Passo 5
Para encontrar uma solução particular de
tentamos
. Então
e, ao substituir,
Comparando coeficientes de
e constantes:
Assim
Passo 6
Voltando às variáveis originais:
portanto a solução geral é