Resolva as EDO’s de Euler-Cauchy não-homogêneas
(4 x-2)^{2} y^{\prime \prime}+5(4 x-2) y^{\prime}+12 y=x^{3}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de Euler–Cauchy não homogênea
(4x-2)^{2}y''+5(4x-2)y'+12y=x^{3}.
O plano é trocar para a variável t=4x-2, transformar em uma EDO de Euler padrão em t, resolver a parte homogênea e depois achar uma solução particular por tentativa de um polinômio em t.

Passo 2

Fazendo t=4x-2 temos, pela regra da cadeia,
\frac{dy}{dx}=4\,\frac{dy}{dt}, \qquad \frac{d^2y}{dx^2}=16\,\frac{d^2y}{dt^2}.
Substituindo em (4x-2)^{2}y''+5(4x-2)y'+12y=x^{3}
16\,t^2\,y''(t)+20\,t\,y'(t)+12\,y(t)=x^3.
Agora dividimos tudo por 4 e substituímos x=(t+2)/4 em x^3:
4\,t^2\,y''(t)+5\,t\,y'(t)+3\,y(t) =\frac{(t+2)^3}{4^3\cdot4} =\frac{(t+2)^3}{256}.

Passo 3

A parte homogênea é
4\,t^2\,y''+5\,t\,y'+3\,y=0,
em que tentamos y_h=t^r. O polinômio característico é
4r(r-1)+5r+3=4r^2+r+3=0 \;\Longrightarrow\; r=\frac{-1\pm i\sqrt{47}}{8}.
Logo
y_h(t) =t^{-1/8}\Bigl(C_1\cos\bigl(\tfrac{\sqrt{47}}{8}\ln t\bigr) +C_2\sin\bigl(\tfrac{\sqrt{47}}{8}\ln t\bigr)\Bigr).

Passo 4

Para a parte particular, como o segundo membro é \frac{(t+2)^3}{256}, tentamos
y_p(t)=A\,t^3+B\,t^2+C\,t+D.
Calculando y_p' e y_p'' e substituindo em
4t^2y_p''+5t y_p'+3y_p=\frac{(t+2)^3}{256}
e igualando coeficientes, obtemos
A=\frac1{10752},\quad B=\frac1{896},\quad C=\frac3{512},\quad D=\frac1{96}.
Portanto
y_p(t) =\frac{t^3}{10752}+\frac{t^2}{896}+\frac{3t}{512}+\frac1{96}.

Passo 5

Voltando à variável original t=4x-2, a solução geral da EDO é
y(x) =(4x-2)^{-1/8}\Bigl(C_1\cos\bigl(\tfrac{\sqrt{47}}{8}\ln(4x-2)\bigr) +C_2\sin\bigl(\tfrac{\sqrt{47}}{8}\ln(4x-2)\bigr)\Bigr) +\frac{(4x-2)^3}{10752} +\frac{(4x-2)^2}{896} +\frac{3(4x-2)}{512} +\frac1{96}.

Resposta

\boxed{ y(x) =(4x-2)^{-1/8}\Bigl(C_1\cos\bigl(\tfrac{\sqrt{47}}{8}\ln(4x-2)\bigr) + C_2\sin\bigl(\tfrac{\sqrt{47}}{8}\ln(4x-2)\bigr)\Bigr) +\frac{(4x-2)^3}{10752} +\frac{(4x-2)^2}{896} +\frac{3(4x-2)}{512} +\frac1{96}. }

Exercícios relacionados