Resolva as EDO’s:
(g) y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=\operatorname{sen}\left(e^{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y'' + 3y' + 2y = \sin\bigl(e^x\bigr).
Isto é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo f(x)=\sin(e^x). Vamos primeiro achar a solução da homogênea e em seguida usar variação de parâmetros para obter uma solução particular.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' + 3y' + 2y = 0.
A equação característica é
r^2 + 3r + 2 = 0
com raízes
r = -1,\quad r = -2.
Logo a solução geral da homogênea é
y_h = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x}.

Passo 3

Pela variação de parâmetros, adotamos duas funções u_1(x) e u_2(x) tais que
y_p = u_1(x)e^{-x} + u_2(x)e^{-2x}.
As fórmulas para as derivadas são
u_1' = -\,\frac{y_2(x)\,f(x)}{W(x)}, \quad u_2' = \frac{y_1(x)\,f(x)}{W(x)},
onde y_1=e^{-x}, y_2=e^{-2x} e o Wronskiano
W(x)= \begin{vmatrix} e^{-x} & e^{-2x}\\\\ -\,e^{-x} & -2e^{-2x} \end{vmatrix} =-e^{-3x}.
Como f(x)=\sin(e^x), temos
u_1' = -\frac{e^{-2x}\,\sin(e^x)}{-e^{-3x}} = -\,e^x\,\sin(e^x), \quad u_2' = \frac{e^{-x}\,\sin(e^x)}{-e^{-3x}} = -\,e^{2x}\,\sin(e^x).

Passo 4

Integramos u_1' e u_2'. Use a mudança de variável t=e^x, dt=e^x\,dx:
Para u_1:
u_1 = \int -e^x\sin(e^x)\,dx = -\int \sin(t)\,dt = \cos(t) = \cos\bigl(e^x\bigr).
Para u_2:
u_2 = \int -e^{2x}\sin(e^x)\,dx = -\int t\sin(t)\,dt = -\bigl(-t\cos t + \sin t\bigr) = t\cos t - \sin t = e^x\cos\bigl(e^x\bigr) - \sin\bigl(e^x\bigr).

Passo 5

A solução particular é
y_p = u_1\,e^{-x} + u_2\,e^{-2x} = \cos(e^x)\,e^{-x} + \bigl(e^x\cos(e^x)-\sin(e^x)\bigr)e^{-2x}.
Ao expandir e simplificar nota-se que os termos em \cos(e^x) se cancelam, restando
y_p = -\,e^{-2x}\,\sin\bigl(e^x\bigr).

Passo 6

A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x} \;-\; e^{-2x}\,\sin\bigl(e^x\bigr).

Resposta

y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x} - e^{-2x}\,\sin\bigl(e^x\bigr).

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