Resolva as EDO’s:
(g) y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=\operatorname{sen}\left(e^{x}\right)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO
y'' + 3y' + 2y = \sin\bigl(e^x\bigr).
Isto é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo f(x)=\sin(e^x). Vamos primeiro achar a solução da homogênea e em seguida usar variação de parâmetros para obter uma solução particular.
Passo 2
A equação homogênea associada é
y'' + 3y' + 2y = 0.
A equação característica é
r^2 + 3r + 2 = 0
com raízes
r = -1,\quad r = -2.
Logo a solução geral da homogênea é
y_h = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x}.
Passo 3
Pela variação de parâmetros, adotamos duas funções u_1(x) e u_2(x) tais que