Resolva as EDOs homogêneas.
(b) (x+y) dx + x dy = 0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem
(x+y),dx + x,dy = 0.
Este é um caso de EDO homogênea, pois ao escrevermos dydx a razão yx aparece isolada. Vamos usar a substituição
y = v,x
para transformar em equação separável.

Passo 2

Para aplicar a substituição, primeiro escrevemos a equação em forma de derivada:
(x+y) + xdydx = 0
Logo,
dydx = -1 - yx

Passo 3

Com y=v,x temos
dydx = v + xdvdx
Substituindo em dydx = -1 - yx
v + xdvdx = -1 - v Longrightarrow xdvdx = -1 - 2v

Passo 4

Agora separamos variáveis:
dv-1 - 2v = dxx
Integramos os dois lados:
integral dv-1 - 2v = integral dxx ;Longrightarrow; -tfrac12lnl|-1-2vr| = ln|x| + C
Multiplicando por -2 e exponenciando:
-1 - 2v = K,x^-2,
onde K é outra constante arbitrária.

Passo 5

Voltando à variável original ( v = y/x):
-1 - 2yx = K,x^-2 Longrightarrow -,x - 2y = K,x^-1 Longrightarrow -,x^2 - 2xy = K
Renomeando a constante ( C=-K), obtemos a solução implícita

Resposta

x^2 + 2xy = C

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