Utilize o teste de Leibniz, para mostrar a convergência das seguintes séries:
5.2 sumn=1^infty (-1)^n-1raizn;

Passo 1

O enunciado pede pra usar o teste de Leibniz, que é um critério de convergência para séries alternadas, para mostrar que a série converge. Vamos precisar entender o que é o teste de Leibniz e verificar suas três condições para a sequência associada.

Passo 2

Primeiro, fatoramos a constante: temos
Como 5.2 é só um fator, basta estudar a convergência de .

Passo 3

No teste de Leibniz para uma série alternada sum(-1)^n-1an, a gente precisa checar:
  1. an>=0
  2. an é decrescente
  3. limntoinftyan=0
    Aqui, identificamos an=1/raizn.

Passo 4

Verificamos agora cada condição:
  1. Positividade: para todo n, an=1/raizn>0 porque raiz de n é positiva.

Passo 5

  1. Monotonia: comparamos
an+1=1raizn+1e an=1raizn
Como raizn+1>raizn, segue 1/raizn+1<1/raizn, ou seja, an+1<an.

Passo 6

  1. Limite nulo:
limntoinftyan=limntoinfty1raizn=0
Portanto todas as condições do teste de Leibniz estão satisfeitas.

Resposta

A série converge pelo teste de Leibniz.

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