Utilize o teste de Leibniz, para mostrar a convergência das seguintes séries:
;
Passo 1
O enunciado pede pra usar o teste de Leibniz, que é um critério de convergência para séries alternadas, para mostrar que a série converge. Vamos precisar entender o que é o teste de Leibniz e verificar suas três condições para a sequência associada.
Passo 2
Primeiro, fatoramos a constante: temos
Como 5.2 é só um fator, basta estudar a convergência de .
Passo 3
No teste de Leibniz para uma série alternada
, a gente precisa checar:
-
-
é decrescente -
Aqui, identificamos.
Passo 4
Verificamos agora cada condição:
- Positividade: para todo
, porque raiz de é positiva.
Passo 5
- Monotonia: comparamos
Como
, segue
, ou seja,
.
Passo 6
- Limite nulo:
Portanto todas as condições do teste de Leibniz estão satisfeitas.
Resposta
A série converge pelo teste de Leibniz.