Resolva as EDO’s lineares com coeficientes constantes:
y^{(3)}+2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=1-4 x^{3}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de ordem três com coeficientes constantes
y^{(3)} + 2y'' - y' - 2y = 1 - 4x^3.
O que vamos fazer:
  1. Encontrar a solução geral da homogênea via equação característica.
  2. Encontrar uma solução particular usando o método dos coeficientes a indeterminados.
  3. Somar as duas para obter a solução geral.

Passo 2

Escrevendo a parte homogênea
y^{(3)} + 2y'' - y' - 2y = 0
e definindo a equação característica
r^3 + 2r^2 - r - 2 = 0.
Fatorando, agrupamos em pares:
r^2(r+2) -1(r+2) = (r+2)(r^2 -1) = (r+2)(r-1)(r+1).
As raízes são r=-2,\,1,\,-1, logo a solução homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{-2x} + C_2 e^x + C_3 e^{-x}.

Passo 3

Para a parte não homogênea, o termo à direita é um polinômio de grau 3. Como 0 não é raiz da característica, tentamos
y_p(x) = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D.
Calculamos as derivadas:
y_p' = 3Ax^2 + 2Bx + C, \quad y_p'' = 6Ax + 2B, \quad y_p''' = 6A.
Substituindo em y^{(3)} + 2y'' - y' - 2y, obtemos
6A + 2(6Ax+2B) \;-\;(3Ax^2+2Bx+C)\;-\;2(Ax^3+Bx^2+Cx+D)
= -2A\,x^3 +(-3A-2B)\,x^2 + (12A-2B-2C)\,x + (6A+4B -C -2D).
Isso deve igualar -4x^3+0x^2+0x+1. Igualando coeficientes:
\begin{cases} -2A = -4,\\\\ -3A - 2B = 0,\\\\ 12A - 2B - 2C = 0,\\\\ 6A + 4B - C - 2D = 1, \end{cases}
resolve-se
A=2,\quad B=-3,\quad C=15,\quad D=-8.
Portanto
y_p(x) = 2x^3 - 3x^2 + 15x - 8.

Passo 4

A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^{-2x} + C_2 e^x + C_3 e^{-x} + 2x^3 - 3x^2 + 15x - 8.

Resposta

y(x)=C_1 e^{-2x}+C_2 e^x+C_3 e^{-x}+2x^3-3x^2+15x-8.

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