Resolva as EDO’s lineares com coeficientes constantes:
y^{(4)}-2 y^{(3)}+y^{\prime \prime}=e^{x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de coeficientes constantes
y^{(4)} - 2\,y^{(3)} + y'' = e^x.
O método será: (i) encontrar a solução geral da homogênea associada, (ii) achar uma solução particular por coeficientes a determinar e (iii) somar as duas para obter a solução geral.

Passo 2

Primeiro, obtemos a equação característica associada à parte homogênea
r^4 - 2r^3 + r^2 = 0.
Fatorando,
r^2\,(r^2 - 2r + 1) = r^2\,(r - 1)^2 = 0,
logo as raízes são r=0 (dupla) e r=1 (dupla). Portanto a solução geral da homogênea é
y_h(x) = C_1 + C_2\,x + C_3\,e^x + C_4\,x\,e^x.

Passo 3

Para a solução particular, usamos o método dos coeficientes a determinar. Como o termo forçante é e^x e r=1 é raiz dupla da característica, multiplicamos o ansatz usual A e^x por x^2. Assim:
y_p(x) = A\,x^2\,e^x.

Passo 4

Calculamos L[y_p], onde L(D)=D^4 -2D^3 +D^2 = D^2(D-1)^2. Usando o operador deslocamento,
L[y_p] = A\,L(D)[\,x^2e^x\,] = A\,e^x\,L(D+1)[\,x^2\,] = A\,e^x\,(D+1)^2D^2[x^2].
Agora D^2[x^2]=2 e então
(D+1)[2]=2,\quad (D+1)^2[2]=2.
Logo
L[y_p] = A\,e^x \times 2 \times 2 = 4A\,e^x.
Para que L[y_p]=e^x é preciso 4A=1, ou seja A=\tfrac14. Portanto
y_p(x)=\frac14\,x^2\,e^x.

Passo 5

A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 + C_2\,x + C_3\,e^x + C_4\,x\,e^x + \frac14\,x^2\,e^x.

Resposta

y(x) = C_1 + C_2\,x + C_3\,e^x + C_4\,x\,e^x + \frac14\,x^2\,e^x.

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