Resolva as EDO’s lineares com coeficientes não constantes:
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO de Euler–Cauchy de terceira ordem
onde os coeficientes dependem de
. Vamos usar a mudança de variável
de modo que derivadas em
se transformam em derivadas em
, convertendo a EDO numa equação de coeficientes constantes.
Passo 2
Relacionamos as derivadas: se denotarmos por ponto a derivada em
, então
Multiplicando cada termo pela potência de
correspondente e somando, obtemos
Logo a EDO fica em
:
Passo 3
Primeiro resolvemos a parte homogênea
A equação característica é
Testando
vemos que anula, e fatorando obtemos
os raízes são
(multiplicidade 2) e
. Portanto
Passo 4
Buscamos uma solução particular constante
. Substituindo em
vem
Assim
Passo 5
Voltando à variável original
, lembrando que
, temos
Logo a solução geral é
Resposta
onde
são constantes arbitrárias.