Resolva as EDO’s lineares com coeficientes não constantes:
x^{3} y^{(3)}+3 x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y=27

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de Euler–Cauchy de terceira ordem
x^{3}y^{(3)}+3x^{2}y''-2xy'+2y=27,
onde os coeficientes dependem de x. Vamos usar a mudança de variável
t=\ln x,
de modo que derivadas em x se transformam em derivadas em t, convertendo a EDO numa equação de coeficientes constantes.

Passo 2

Relacionamos as derivadas: se denotarmos por ponto a derivada em t, então
y'=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}\dot y,\quad y''=\frac{1}{x^2}(\ddot y-\dot y),\quad y^{(3)}=\frac{1}{x^3}(\dddot y-3\ddot y+2\dot y).
Multiplicando cada termo pela potência de x correspondente e somando, obtemos
x^3y^{(3)}+3x^2y''-2xy'+2y =(\dddot y-3\ddot y+2\dot y)+3(\ddot y-\dot y)-2\dot y+2y =\dddot y-3\dot y+2y.
Logo a EDO fica em t:
\dddot y-3\dot y+2y=27.

Passo 3

Primeiro resolvemos a parte homogênea
\dddot y-3\dot y+2y=0.
A equação característica é
r^3-3r+2=0.
Testando r=1 vemos que anula, e fatorando obtemos
r^3-3r+2=(r-1)^2(r+2)=0
os raízes são r=1 (multiplicidade 2) e r=-2. Portanto
y_h(t)=C_1e^{t}+C_2\,t\,e^{t}+C_3e^{-2t}.

Passo 4

Buscamos uma solução particular constante y_p=A. Substituindo em
\dddot y-3\dot y+2y=27
vem
0-0+2A=27\quad\Longrightarrow\quad A=\frac{27}{2}.
Assim
y_p(t)=\frac{27}{2}.

Passo 5

Voltando à variável original x, lembrando que t=\ln x, temos
e^{t}=x,\quad t\,e^{t}=x\ln x,\quad e^{-2t}=x^{-2}.
Logo a solução geral é
y(x) =C_1\,x+C_2\,x\ln x+C_3\,x^{-2}+\frac{27}{2}.

Resposta

\boxed{y(x)=C_1x+C_2x\ln x+C_3x^{-2}+\frac{27}{2},}
onde C_1,C_2,C_3 são constantes arbitrárias.

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