Resolva as EDO’s lineares com coeficientes constantes:
y^{(3)}+y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de ordem três com coeficientes constantes
y^{(3)} + y' = 0.
Para resolver, vamos usar o método da equação característica: associamos à EDO um polinômio cujas raízes determinam a forma da solução.

Passo 2

Escrevemos a equação característica substituindo y^{(k)} por r^k:
r^3 + r = 0.
Esse polinômio deve ser fatorado para encontrar as raízes r.

Passo 3

Fatorando r^3 + r temos
r(r^2 + 1) = 0.
Portanto as raízes são
r_1 = 0, \quad r_{2,3} = \pm i.
A raiz real r_1=0 gera um termo e^{0x}=1 e o par complexo conjugado \pm i gera combinações de \cos x e \sin x.

Passo 4

Com base nas raízes, a solução geral é
y(x) = C_1 e^{0\cdot x} + C_2\cos(x) + C_3\sin(x),
onde C_1,C_2,C_3 são constantes arbitrárias. Simplificando e^{0\cdot x}=1, fica

Resposta

y(x) = C_1 + C_2\cos(x) + C_3\sin(x).

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