Resolva as EDO’s não-homogêneas de
ordem:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes não homogênea
Vamos usar o método clássico: encontrar a solução geral da homogênea e depois uma solução particular por coeficientes a determinar.
Passo 2
Para a parte homogênea consideramos
e escrevemos a equação característica
As raízes são
e
. Logo a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
de
Como o termo
é um polinômio de grau 1 e a aplicação de
a um grau 1 daria apenas constante, precisamos testar um polinômio de grau 2:
Para o termo
, o expoente
não é raiz da característica, então tentamos
Assim tomamos
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo em
:
correto é
Esse resultado deve ser igual a
. Igualando coeficientes do polinômio e do expoente:
para :
para
constante:
e para o termo exponencial:
O coeficiente
não aparece em
, mas esse termo constante pode ser absorvido em
de
; por isso podemos escolher
sem perda de generalidade. Assim
Passo 5
A solução geral da equação não homogênea é a soma de
e
: