Resolva as EDO’s não-homogêneas de 2^{a} ordem:
y^{\prime \prime}+y^{\prime}=5 x+2 e^{2 x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes não homogênea
y'' + y' = 5x + 2e^{2x}.
Vamos usar o método clássico: encontrar a solução geral da homogênea e depois uma solução particular por coeficientes a determinar.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y'' + y' = 0
e escrevemos a equação característica
r^2 + r = 0\,.
As raízes são r=0 e r=-1. Logo a solução geral da homogênea é
y_h(x) = C_1 + C_2 e^{-x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p de
y'' + y' = 5x + 2e^{2x}.
Como o termo 5x é um polinômio de grau 1 e a aplicação de y''+y' a um grau 1 daria apenas constante, precisamos testar um polinômio de grau 2:
y_{p1}(x)=a x^2 + b x + c.
Para o termo 2e^{2x}, o expoente 2 não é raiz da característica, então tentamos
y_{p2}(x)=C\,e^{2x}.
Assim tomamos
y_p(x)=a x^2 + b x + c + C e^{2x}.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p:
y_p'(x)=2a x + b + 2C e^{2x}, \quad y_p''(x)=2a + 4C e^{2x}.
Substituindo em y''+y':
y_p'' + y_p' = \bigl(2a x + b\bigr)'s\text{? Não: reorganizando}\;=\;2a x + (2a + b) \;+\;(4C + 2C)e^{2x}ã
correto é
y_p'' + y_p' = (2a) + (2a x + b) + 6C e^{2x} = 2a x + (2a + b) + 6C e^{2x}.
Esse resultado deve ser igual a 5x + 2e^{2x}. Igualando coeficientes do polinômio e do expoente:
para x:
2a = 5 \quad\Longrightarrow\quad a = \tfrac{5}{2},
constante:
2a + b = 0 \quad\Longrightarrow\quad b = -2a = -5,
e para o termo exponencial:
6C = 2 \quad\Longrightarrow\quad C = \tfrac{1}{3}.
O coeficiente c não aparece em y''+y', mas esse termo constante pode ser absorvido em C_1 de y_h; por isso podemos escolher c=0 sem perda de generalidade. Assim
y_p(x)=\tfrac{5}{2}x^2 -5x + \tfrac{1}{3}e^{2x}.

Passo 5

A solução geral da equação não homogênea é a soma de y_h e y_p:
y(x) = C_1 + C_2 e^{-x} + \tfrac{5}{2}x^2 -5x + \tfrac{1}{3}e^{2x}.

Resposta

y(x) = C_{1} + C_{2}e^{-x} + \frac{5}{2}x^{2} \;-\;5x \;+\;\frac{1}{3}e^{2x}.

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