Resolva as EDO’s não-homogêneas de 2^{a} ordem:
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}=2 e^{3 x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não-homogênea de segunda ordem
y'' - 4y' = 2e^{3x}.
O conteúdo aqui é equação diferencial linear com coeficientes constantes e termo fonte 2e^{3x}. Para resolver vamos:
  1. achar a solução geral da equação homogênea associada;
  2. encontrar uma solução particular usando o método dos coeficientes indeterminados;
  3. somar as duas para obter a solução geral.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' - 4y' = 0.
Assumimos y=e^{rx}, o que leva à equação característica
r^2 - 4r = 0 \quad\Longrightarrow\quad r(r-4)=0 \quad\Longrightarrow\quad r=0,\,4.
Portanto a solução geral homogênea é
y_h = C_1 + C_2\,e^{4x}.

Passo 3

Para a solução particular y_p, como o termo não-homogêneo é 2e^{3x} e r=3 não é raiz da característica, tentamos
y_p = A\,e^{3x}.
Calculamos
y_p' = 3A\,e^{3x}, \quad y_p'' = 9A\,e^{3x},
e substituímos na equação original:
9A\,e^{3x} - 4\bigl(3A\,e^{3x}\bigr) = (9A - 12A)\,e^{3x} = -3A\,e^{3x} \stackrel{!}{=}2\,e^{3x}.
Logo
-3A = 2 \quad\Longrightarrow\quad A = -\tfrac{2}{3}.
Isso dá
y_p = -\tfrac{2}{3}\,e^{3x}.

Passo 4

A solução geral da EDO não-homogênea é a soma de y_h com y_p:
y(x) = C_1 + C_2\,e^{4x} \;-\;\tfrac{2}{3}\,e^{3x}.

Resposta

y(x) = C_1 + C_2\,e^{4x} - \frac{2}{3}\,e^{3x}.

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