Resolva as EDO’s lineares com coeficientes não constantes:
x y^{(3)}+y^{(2)}=1+x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de terceira ordem com coeficientes não constantes
x\,y^{(3)} + y'' = 1 + x.
O conteúdo envolve reduzir a ordem usando a substituição p(x)=y''(x), resolver a equação de primeira ordem em p e depois integrar duas vezes para obter y.

Passo 2

Definimos
p(x)=y''(x).
Então
p'(x)=y^{(3)}(x)
e a EDO fica
x\,p' + p = 1 + x.
Essa é uma equação de primeira ordem em p.

Passo 3

Escrevemos no forma padrão
p' + \frac{1}{x}\,p = \frac{1}{x} + 1.
O fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int \tfrac{1}{x}\,dx\Bigr)=x.
Multiplicando a equação por \mu(x)=x obtemos
(x\,p)' = x\Bigl(\tfrac{1}{x}+1\Bigr) = 1 + x.
Integrando em x:
x\,p = \int(1 + x)\,dx = x + \frac{x^2}{2} + C_{1}.
Logo
p(x)=y''(x)=1 + \frac{x}{2} + \frac{C_{1}}{x}.

Passo 4

Agora integramos p(x)=y''(x) para obter y'(x):
y'(x)=\int\Bigl(1 + \frac{x}{2} + \frac{C_{1}}{x}\Bigr)\,dx = x + \frac{x^2}{4} + C_{1}\ln\lvert x\rvert + C_{2}.

Passo 5

Integramos mais uma vez para achar y(x):
y(x)=\int\Bigl(x + \frac{x^2}{4} + C_{1}\ln\lvert x\rvert + C_{2}\Bigr)\,dx.
Calculando termo a termo:
\int x\,dx=\frac{x^2}{2},\quad \int \frac{x^2}{4}\,dx=\frac{x^3}{12},\quad \int C_{1}\ln\lvert x\rvert\,dx = C_{1}\bigl(x\ln\lvert x\rvert - x\bigr),\quad \int C_{2}\,dx=C_{2}x.
Somando e incluindo constante final C_{3}, temos
y(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{12} + C_{1}\bigl(x\ln\lvert x\rvert - x\bigr) + C_{2}\,x + C_{3}.

Resposta

\boxed{y(x)=\frac{x^3}{12}+\frac{x^2}{2} + C_{1}\bigl(x\ln\lvert x\rvert - x\bigr) + C_{2}\,x + C_{3},}
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias.

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