Resolva as seguintes transformadas:
\mathcal{L}\left[e^{-t} \cos (\mathrm{t})\right]

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de \,e^{-t}\cos(t).
O conteúdo aqui é transformada de Laplace e, em particular, a propriedade de deslocamento no domínio de s, que diz que
\mathcal{L}\{e^{a t}f(t)\}(s)=F(s - a),
onde F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s).

Passo 2

Primeiro, lembramos a transformada de Laplace de \cos(t), válida para \Re(s)>0:
\mathcal{L}\{\cos(t)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+1}.

Passo 3

Agora aplicamos a propriedade de deslocamento com a=-1, pois e^{-t}=e^{(-1)t}. Logo, trocamos s por s-(-1)=s+1 em \dfrac{s}{s^{2}+1}:
\mathcal{L}\{e^{-t}\cos(t)\}(s) =\frac{s+1}{(s+1)^{2}+1}.

Passo 4

A região de convergência resulta de exigir \Re(s+1)>0, ou seja,
\Re(s)>-1.

Resposta

\mathcal{L}\{e^{-t}\cos(t)\}(s) =\frac{s+1}{(s+1)^{2}+1},\quad \Re(s)>-1.

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