Resolva as EDO’S de 2^{\mathrm{a}} ordem abaixo:
\frac{1}{5} y^{\prime \prime}-\frac{14}{45} y^{\prime}+\frac{49}{405} y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO de segunda ordem com coeficientes constantes
\displaystyle \frac{1}{5}y'' - \frac{14}{45}y' + \frac{49}{405}y = 0.
Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico: transformar a EDO num polinômio em r, encontrar suas raízes e montar a solução geral.

Passo 2

Começamos simplificando a equação multiplicando ambos os lados por 405 para eliminar denominadores:
\frac{405}{5}y'' \;-\;\frac{405\cdot14}{45}y' \;+\;49\,y \;=\;0
Como \tfrac{405}{5}=81 e \tfrac{405\cdot14}{45}=126, obtemos
81\,y'' \;-\;126\,y' \;+\;49\,y \;=\;0.

Passo 3

Assumimos y=e^{rx} e substituímos na EDO para obter o polinômio característico:
81\,r^2 \;-\;126\,r \;+\;49 \;=\;0.

Passo 4

Calculamos o discriminante:
\Delta = (-126)^2 - 4\cdot81\cdot49 = 15876 - 15876 = 0.
Como \Delta=0, há raiz dupla
r = \frac{126}{2\cdot81} = \frac{126}{162} = \frac{7}{9}.

Passo 5

Para raiz dupla r=\tfrac{7}{9}, a solução geral da EDO é
y(x) = \bigl(C_{1} + C_{2}\,x\bigr)\,e^{\frac{7}{9}x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = \bigl(C_{1} + C_{2}\,x\bigr)\,e^{\frac{7}{9}x}.

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