Resolva as EDO’S de 2^{\mathrm{a}} ordem abaixo:
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=x^{2}+2 x+1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' + 5y = x^2 + 2x + 1.
O conteúdo envolve encontrar a solução geral como soma da solução da homogênea e de uma particular. Vamos usar o método de coeficientes indeterminados para a parte particular.

Passo 2

Primeiro obtemos a solução da equação homogênea associada
y'' + 2y' + 5y = 0.
A equação característica é
r^2 + 2r + 5 = 0,
cuja solução é
r = -1 \pm 2i.
Logo
y_h(x) = e^{-x}\bigl(C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x)\bigr).

Passo 3

Agora procuramos uma solução particular y_p do tipo polinomial de grau 2, pois o lado direito é x^2+2x+1. Assumimos
y_p(x) = Ax^2 + Bx + C.
Calculamos as derivadas:
y_p' = 2Ax + B,\quad y_p'' = 2A.
Substituindo em y'' + 2y' +5y obtemos
2A + 2(2Ax + B) + 5(Ax^2 + Bx + C) = 5A x^2 + (4A + 5B)x + (2A + 2B + 5C).
Igualando ao termo fonte x^2 + 2x + 1 determina-se o sistema
5A = 1,\quad 4A + 5B = 2,\quad 2A + 2B + 5C = 1.
Dessas equações vem
A = \tfrac15,\quad B = \tfrac{6}{25},\quad C = \tfrac{3}{125}.

Passo 4

A solução geral da equação não homogênea é
y(x) = y_h(x) + y_p(x),
ou seja
y(x) = e^{-x}\bigl(C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x)\bigr) + \frac{1}{5}x^2 + \frac{6}{25}x + \frac{3}{125}.

Resposta

y(x) = e^{-x}\bigl(C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x)\bigr) + \frac{1}{5}x^2 + \frac{6}{25}x + \frac{3}{125}.

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