Resolva as EDO’S de 2{ }^{\mathrm{a}} ordem abaixo:
\frac{1}{3} y^{\prime \prime}+7 y^{\prime}-2 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem linear homogênea com coeficientes constantes
\frac{1}{3}y'' + 7y' - 2y = 0.
O conteúdo aqui é a técnica de equação característica: transformamos a EDO em um polinômio em r, determinamos suas raízes e escrevemos a solução geral como combinação linear de exponenciais.

Passo 2

Multiplicamos a equação toda por 3 para eliminar o coeficiente fracionário em y''. Assim obtemos
y'' + 21y' - 6y = 0.

Passo 3

Assumimos y=e^{rx}$ e substituímos na equação reduzida para obter a equação característica: \[r^2 + 21r - 6 = 0.\] Usando a fórmula de Bhaskara, as raízes são \[r = \frac{-21 \pm \sqrt{21^2 - 4\cdot1\cdot(-6)}}{2} = \frac{-21 \pm \sqrt{441 + 24}}{2} = \frac{-21 \pm \sqrt{465}}{2}.\]

Passo 4

Como as raízes r_1 e r_2 são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x},
onde
r_1 = \frac{-21 + \sqrt{465}}{2}, \quad r_2 = \frac{-21 - \sqrt{465}}{2},
e C_1, C_2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C_1 \exp\!\Bigl(\tfrac{-21 + \sqrt{465}}{2}\,x\Bigr) + C_2 \exp\!\Bigl(\tfrac{-21 - \sqrt{465}}{2}\,x\Bigr).

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