Resolva as EDO’S de 2{ }^{\mathrm{a}} ordem abaixo:
3 y^{\prime \prime}-y^{\prime}-y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
3\,y'' - y' - y = 0.
O conteúdo é “EDO de 2ª ordem com coeficiente constante” e vamos usar o método da equação característica para encontrar a solução geral.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y = e^{r x}. Substituindo em 3\,y'' - y' - y = 0 obtemos a equação característica
3r^2 - r - 1 = 0.
O discriminante é
\Delta = (-1)^2 - 4\cdot 3 \cdot (-1) = 1 + 12 = 13,
logo as raízes são
r_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2\cdot 3} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}.

Passo 3

Como r_1 e r_2 são reais e distintos, a solução geral da EDO é
y(x) = C_{1}\,e^{r_{1}x} + C_{2}\,e^{r_{2}x}
com
r_{1} = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}, \quad r_{2} = \frac{1 - \sqrt{13}}{6}.

Resposta

y(x) = C_{1}\exp\!\biggl(\frac{1 + \sqrt{13}}{6}\,x\biggr) \;+\; C_{2}\exp\!\biggl(\frac{1 - \sqrt{13}}{6}\,x\biggr).

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