Resolva as EDO’S de 2{ }^{\mathrm{a}} ordem abaixo:
4 y^{\prime \prime}-y^{\prime}+\frac{1}{2} y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem
4\,y'' - y' + \tfrac12\,y = 0,
que é linear, homogênea e com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y=e^{r x}. Substituindo em 4\,y'' - y' + \tfrac12\,y=0 obtemos a equação para r:
4\,r^2 - r + \tfrac12 = 0.

Passo 3

Calculamos o discriminante dessa quadrática:
\Delta = (-1)^2 - 4\cdot4\cdot\tfrac12 = 1 - 8 = -7.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas:
r = \frac{1 \pm i\sqrt{7}}{2\cdot4} = \frac{1 \pm i\sqrt{7}}{8}.

Passo 4

Para raízes r=\alpha\pm i\beta, a solução geral é
y(x) = e^{\alpha x}\bigl(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x)\bigr).
Aqui \alpha = \tfrac18 e \beta = \tfrac{\sqrt7}{8}.

Resposta

y(x) = e^{\tfrac{x}{8}}\Bigl(C_{1}\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt7}{8}x\bigr) + C_{2}\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt7}{8}x\bigr)\Bigr).

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