Resolva as EDO’S de 2{ }^{\mathrm{a}} ordem abaixo:
-\frac{1}{2} y^{\prime \prime}-y^{\prime}-\frac{1}{2} y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
-\tfrac12\,y'' - y' - \tfrac12\,y = 0.
O conteúdo aqui é a resolução via equação característica.

Passo 2

Para simplificar, multiplico ambos os lados por -2, ficando
y'' + 2\,y' + y = 0.
Agora temos uma EDO com coeficientes inteiros.

Passo 3

Formo a equação característica associada, trocando y\mapsto e^{rx}:
r^2 + 2r + 1 = 0.
Calculo o discriminante: \Delta = 2^2 - 4\cdot1\cdot1 = 0, logo há uma raiz dupla.

Passo 4

A raiz dupla é
r = \frac{-2}{2} = -1.
Para raízes repetidas de multiplicidade 2, a solução geral é
y(x) = C_{1}\,e^{r x} \;+\; C_{2}\,x\,e^{r x}.
Substituindo r=-1,

Passo 5

y(x) = C_{1}\,e^{-x} + C_{2}\,x\,e^{-x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C_{1}\,e^{-x} + C_{2}\,x\,e^{-x}.

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