Resolva as equações diferenciais ordinárias.
\left[y \cos (x y)+\frac{y}{\sqrt{x}}\right] d x+\left[x \cos (x y)+2 \sqrt{x}+\frac{1}{y}\right] d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\bigl[y\cos(xy)+\frac{y}{\sqrt{x}}\bigr]\,dx +\bigl[x\cos(xy)+2\sqrt{x}+\frac{1}{y}\bigr]\,dy=0
e pede para resolver. O conteúdo aqui é equação exata: precisamos verificar se existe uma função potencial \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x} =y\cos(xy)+\frac{y}{\sqrt{x}}, \quad \frac{\partial \Psi}{\partial y} =x\cos(xy)+2\sqrt{x}+\frac{1}{y}.

Passo 2

Verificamos a exatidão calculando as derivadas parciais mistas:
M(x,y)=y\cos(xy)+\frac{y}{\sqrt{x}}, \quad N(x,y)=x\cos(xy)+2\sqrt{x}+\frac{1}{y}.
Calculemos
\frac{\partial M}{\partial y} =\cos(xy)-xy\sin(xy)+\frac{1}{\sqrt{x}},
\frac{\partial N}{\partial x} =\cos(xy)-xy\sin(xy)+\frac{1}{\sqrt{x}}.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Existe \Psi(x,y) tal que \Psi_x=M. Integramos M em relação a x, tratando y como constante:
\int y\cos(xy)\,dx \quad\text{fazendo }u=xy,\\ du=y\,dx \;\longrightarrow\; \int \cos(u)\,du =\sin(u)=\sin(xy).
E
\int \frac{y}{\sqrt{x}}\,dx =y\int x^{-\tfrac12}\,dx =2y\sqrt{x}.
Logo
\Psi(x,y)=\sin(xy)+2y\sqrt{x}+h(y),
em que h(y) é função a determinar.

Passo 4

Para encontrar h(y), usamos \Psi_y=N. Derivando \Psi em y:
\Psi_y =x\cos(xy)+2\sqrt{x}+h'(y) \overset{!}{=} x\cos(xy)+2\sqrt{x}+\frac{1}{y}.
Daí
h'(y)=\frac{1}{y} \quad\Longrightarrow\quad h(y)=\ln\lvert y\rvert.

Passo 5

Substituindo h(y) em \Psi, obtemos a solução implícita geral:
\Psi(x,y) =\sin(xy)+2y\sqrt{x}+\ln\lvert y\rvert =C,
com C constante arbitrária.

Resposta

\boxed{\sin(xy)+2y\sqrt{x}+\ln\lvert y\rvert=C.}

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