Resolva as equações diferenciais ordinárias.
(2 x-y+4) d y+(x-2 y+5) d x=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
(2x - y + 4)\,dy + (x - 2y + 5)\,dx = 0.
Esse tipo de equação é da forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0. Vamos verificar se ela é exata ou se admite um fator integrante simples. Se não, tentaremos uma mudança de variáveis que simplifique a relação entre x e y.

Passo 2

Escrevendo em forma de derivada, temos
\frac{dy}{dx} = -\frac{M(x,y)}{N(x,y)} = -\frac{x - 2y + 5}{2x - y + 4}.
A checagem de exatidão revela \frac{\partial M}{\partial y}=-2 e \frac{\partial N}{\partial x}=2, não são iguais, e as tentativas de fator integrante em função só de x ou só de y falham. Note que numerador e denominador são linhas afins em x,y: isso sugere usar a mudança
u = x + y, \quad v = x - y,
que costuma simplificar combinações lineares.

Passo 3

Em termos de u,v:
x = \frac{u+v}{2}, \quad y = \frac{u-v}{2}.
Calculamos
dx = \frac{du + dv}{2}, \quad dy = \frac{du - dv}{2},
e reescrevemos
M\,dx + N\,dy = (x - 2y + 5)\,dx + (2x - y + 4)\,dy
em u,v. Após juntar termos em du e dv, chega-se a
(3v + 9)\,du + (1 - u)\,dv = 0.

Passo 4

Reescrevendo como uma equação para v(u):
\frac{dv}{du} = -\frac{3v + 9}{1 - u} = \frac{3(v + 3)}{u - 1}.
Isso é uma equação linear em v:
\frac{dv}{du} - \frac{3}{u - 1}\,v = \frac{9}{u - 1}.
O fator integrante é
\mu(u) = \exp\Bigl(-3\int\frac{1}{u-1}\,du\Bigr) = (u-1)^{-3}.
Multiplicando, o lado esquerdo fica \frac{d}{du}\bigl[v\,(u-1)^{-3}\bigr]. Integrando,
v\,(u-1)^{-3} = \int 9\,(u-1)^{-4}\,du = -3\,(u-1)^{-3} + C.
Logo
v = -3 + C\,(u-1)^3.

Passo 5

Voltando às variáveis originais u = x+y e v = x-y, temos
x - y = -3 + C\,(x + y - 1)^3.
Reorganizando em forma implícita de solução geral:
x - y + 3 = C\,(x + y - 1)^3.

Resposta

x - y + 3 = C\,(x + y - 1)^3,
onde C é constante arbitrária.

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