Resolva as equações diferenciais ordinárias.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Esse tipo de equação é da forma
. Vamos verificar se ela é exata ou se admite um fator integrante simples. Se não, tentaremos uma mudança de variáveis que simplifique a relação entre
e
.
Passo 2
Escrevendo em forma de derivada, temos
A checagem de exatidão revela
e
, não são iguais, e as tentativas de fator integrante em função só de
ou só de
falham. Note que numerador e denominador são linhas afins em
: isso sugere usar a mudança
que costuma simplificar combinações lineares.
Passo 3
Em termos de
:
Calculamos
e reescrevemos
em
. Após juntar termos em
e
, chega-se a
Passo 4
Reescrevendo como uma equação para
:
Isso é uma equação linear em
:
O fator integrante é
Multiplicando, o lado esquerdo fica
. Integrando,
Logo
Passo 5
Voltando às variáveis originais
e
, temos
Reorganizando em forma implícita de solução geral:
Resposta
onde
é constante arbitrária.