Resolva as EDO’s não-homogêneas de 2^{a} ordem:
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+4 y=3 x+2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem não homogênea em y(x):
y'' + 3y' + 4y = 3x + 2.
O conteúdo envolve equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolvê-la, vamos:
  1. Encontrar a solução geral da equação homogênea associada.
  2. Determinar uma solução particular para o termo 3x+2.
  3. Somar as duas para obter a solução geral da EDO.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação característica da parte homogênea y'' +3y'+4y=0:
r^2 + 3r + 4 = 0.
Calculamos o discriminante:
\Delta = 3^2 - 4\cdot1\cdot4 = 9 - 16 = -7.
As raízes são complexas:
r = \frac{-3 \pm i\sqrt{7}}{2}.
Logo, a solução homogênea é
y_h(x) = e^{-\tfrac{3}{2}x}\Bigl(C_1\cos\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}x\bigr) + C_2\sin\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}x\bigr)\Bigr).

Passo 3

Para achar uma solução particular y_p da forma de polinômio de grau 1, supomos
y_p(x) = A\,x + B.
Daí
y_p'(x) = A, \quad y_p''(x) = 0.
Substituindo em y''+3y'+4y=3x+2:
0 + 3A + 4(Ax + B) = 3x + 2 \quad\Longrightarrow\quad 4A\,x + (3A + 4B) = 3x + 2.
Igualando termos de x e constantes:
4A = 3 \quad\Rightarrow\quad A = \frac{3}{4},
3A + 4B = 2 \quad\Rightarrow\quad 3\cdot\frac{3}{4} + 4B = 2 \quad\Rightarrow\quad \frac{9}{4} + 4B = 2 \quad\Rightarrow\quad 4B = 2 - \frac{9}{4} = -\frac{1}{4} \quad\Rightarrow\quad B = -\frac{1}{16}.
Portanto,
y_p(x) = \frac{3}{4}x - \frac{1}{16}.

Passo 4

A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = e^{-\tfrac{3}{2}x}\Bigl(C_1\cos\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}x\bigr) + C_2\sin\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}x\bigr)\Bigr) +\frac{3}{4}x - \frac{1}{16}.

Resposta

y(x) = e^{-\tfrac{3}{2}x}\Bigl(C_1\cos\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}x\bigr) + C_2\sin\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}x\bigr)\Bigr) +\frac{3}{4}x - \frac{1}{16}.

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