Resolva as EDO’s utilizando Laplace e produto de convolução:
y^{\prime \prime}-7 y^{\prime}+12 y=-e^{4 x}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear de segunda ordem
y'' - 7y' + 12y = -e^{4x}
usando transformada de Laplace e o produto de convolução.
Conteúdo necessário: transformada de Laplace de derivadas, convolução e solução da homogênea de coeficientes constantes.

Passo 2

Para obter uma solução particular por convolução, assumimos condições iniciais nulas, isto é,
y(0)=0,\quad y'(0)=0.
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados e usando
\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0),\quad \mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0),
temos
(s^2 -7s+12)\,Y(s) = -\frac{1}{s-4}.
Logo a parte particular em s é
Y_p(s) = -\frac{1}{(s^2-7s+12)(s-4)}.
Reconhecemos
H(s)=\frac{1}{s^2-7s+12},\quad F(s)=\frac{1}{s-4},
de modo que
Y_p(s) = -H(s)\,F(s).

Passo 3

Calculamos a resposta ao impulso h(x)=\mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}.
Fazendo frações parciais em
H(s)=\frac{1}{(s-3)(s-4)} = \frac{1}{1}\Bigl(\frac{1}{s-4}-\frac{1}{s-3}\Bigr),
vem
h(x)=e^{4x}-e^{3x}.

Passo 4

A solução particular por convolução é
y_p(x) = -\bigl(h * e^{4\cdot}\bigr)(x) = -\int_{0}^{x}h(x-t)\,e^{4t}\,dt.
Substituindo h(x-t)=e^{4(x-t)}-e^{3(x-t)},
\begin{aligned} y_p(x) &= -\int_{0}^{x}\bigl(e^{4(x-t)}-e^{3(x-t)}\bigr)e^{4t}\,dt\\\ &= -\Bigl(\int_{0}^{x}e^{4x}\,dt - \int_{0}^{x}e^{3x}\,e^{t}\,dt\Bigr)\\\ &= -\bigl(xe^{4x} - e^{3x}(e^{x}-1)\bigr)\\\ &= -x\,e^{4x} + e^{4x} - e^{3x}. \end{aligned}

Passo 5

A solução geral é soma da homogênea com y_p. As raízes da característica
r^2 -7r+12=0
são r=3,4, então
y_h(x)=C_1\,e^{3x}+C_2\,e^{4x}.
Assim
y(x)=y_h(x)+y_p(x) = C_1\,e^{3x}+C_2\,e^{4x} - x\,e^{4x} + e^{4x} - e^{3x}.
Como e^{3x} e e^{4x} podem ser absorvidos em C_1 e C_2, escrevemos
y(x)=A\,e^{3x}+B\,e^{4x}-x\,e^{4x},
onde A,B são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}\,e^{3x}+C_{2}\,e^{4x}-x\,e^{4x}.

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