Resolva as EDO’s utilizando Laplace e produto de convolução:
$y^{\prime \prime}-2 y{\prime}=x{2}-1
$y^{\prime \prime}-2 y{\prime}=x{2}-1
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO
usando transformada de Laplace e o produto de convolução. Vamos precisar da definição de transformada de Laplace
das fórmulas
e da propriedade de convolução
Passo 2
Aplicamos Laplace em ambos os lados, assumindo condições iniciais homogêneas
e
:
Substituindo as fórmulas e as transformadas conhecidas
,
, obtemos
Passo 3
Isolamos
e reescrevemos como produto de duas transformadas para usar convolução:
Passo 4
Identificamos as funções
e
cujas transformadas são
e
:
Passo 5
Pela propriedade de convolução,
Expandindo e calculando a integral (por partes e tabela de integrais), chega-se a
que satisfaz
.
Passo 6
A expressão acima é a solução particular que já incorpora as condições iniciais nulas. A solução geral da EDO é a soma da solução homogênea
com esta solução particular.
Resposta
A solução geral da EDO é