Resolva as EDO’s utilizando Laplace e produto de convolução:
$y^{\prime \prime}-2 y{\prime}=x{2}-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y''-2y'=x^2-1
usando transformada de Laplace e o produto de convolução. Vamos precisar da definição de transformada de Laplace
\mathcal{L}\{y\}(s)=Y(s),
das fórmulas
\mathcal{L}\{y'\}(s)=sY(s)-y(0),\quad \mathcal{L}\{y''\}(s)=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
e da propriedade de convolução
\mathcal{L}\{f*g\}(s)=\mathcal{L}\{f\}(s)\,\mathcal{L}\{g\}(s)\,.

Passo 2

Aplicamos Laplace em ambos os lados, assumindo condições iniciais homogêneas y(0)=0 e y'(0)=0:
\mathcal{L}\{y''\}(s)-2\,\mathcal{L}\{y'\}(s) =\mathcal{L}\{x^2\}(s)-\mathcal{L}\{1\}(s).
Substituindo as fórmulas e as transformadas conhecidas
\mathcal{L}\{x^2\}=2/s^3, \mathcal{L}\{1\}=1/s, obtemos
(s^2Y(s)) - 2\,(sY(s)) =\frac{2}{s^3}-\frac{1}{s} \quad\Longrightarrow\quad Y(s)\,\bigl(s^2-2s\bigr) =\frac{2}{s^3}-\frac{1}{s}.

Passo 3

Isolamos Y(s) e reescrevemos como produto de duas transformadas para usar convolução:
Y(s) =\frac{2/s^3-1/s}{s(s-2)} =\underbrace{\Bigl(\frac{2}{s^3}-\frac{1}{s}\Bigr)}_{F(s)} \;\times\; \underbrace{\frac{1}{s(s-2)}}_{G(s)}.

Passo 4

Identificamos as funções f e g cujas transformadas são F(s) e G(s):
f(x)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} =\mathcal{L}^{-1}\Bigl(\frac{2}{s^3}\Bigr) -\mathcal{L}^{-1}\Bigl(\frac{1}{s}\Bigr) =x^2-1,
g(x)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\} =\mathcal{L}^{-1}\Bigl(\frac{1}{s(s-2)}\Bigr) =\frac{1}{2}\bigl(e^{2x}-1\bigr).

Passo 5

Pela propriedade de convolução,
y(x)=\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\} =(f*g)(x) =\int_{0}^{x}f(u)\,g(x-u)\,du =\frac{1}{2}\int_{0}^{x}(u^2-1)\bigl(e^{2(x-u)}-1\bigr)\,du.
Expandindo e calculando a integral (por partes e tabela de integrais), chega-se a
y(x) =-\tfrac{1}{6}x^3-\tfrac{1}{4}x^2+\tfrac{1}{4}x +\tfrac{1}{8}-\tfrac{1}{8}e^{2x},
que satisfaz y(0)=y'(0)=0.

Passo 6

A expressão acima é a solução particular que já incorpora as condições iniciais nulas. A solução geral da EDO é a soma da solução homogênea
y_h(x)=C_1 + C_2 e^{2x}
com esta solução particular.

Resposta

A solução geral da EDO é
\boxed{ y(x)=C_{1}+C_{2}\,e^{2x} -\frac{1}{6}x^{3} -\frac{1}{4}x^{2} +\frac{1}{4}x \,.}

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