Resolva os PVI lx y^prime+y=2 x y(-1)=1 e lx y^prime+y=2 x y(2)=1. Qual o domínio maximal de definição da solução, em cada caso?

Passo 1

O enunciado pede a solução dos PVI
x,y' + y = 2x, y(-1)=1,
e
x,y' + y = 2x, y(2)=1,
que é uma EDO linear de primeira ordem com singularidade em x=0. Vamos encontrar a solução geral, depois usar cada condição inicial para determinar a constante de integração e, por fim, identificar o domínio maximal onde a solução está bem definida (sem cruzar x=0).

Passo 2

Colocando a EDO em forma padrão para xneq0:
y' + 1x,y = 2
O fator integrante é
mu(x) = exp!l(integral tfrac1x,dxr) = |x|
Mas observamos diretamente que
ddx(x,y) = x,y' + y,
logo a equação fica
ddx(x,y) = 2x
Integrando ambos os lados:
x,y = integral 2x,dx = x^2 + C
e portanto a solução geral é
y(x) = x + Cx

Passo 3

Para o PVI com y(-1)=1, fazemos x=-1 na fórmula geral:
1 = (-1) + C-1 Longrightarrow 1 = -1 - C Longrightarrow C = -2
Assim
y(x) = x - 2x
Como não podemos atravessar x=0 e o ponto inicial -1 está em (-infty,0), o domínio maximal de definição é
(-infty,0)

Passo 4

Para o PVI com y(2)=1, fazemos x=2 na solução geral:
1 = 2 + C2 Longrightarrow C2 = -1 Longrightarrow C = -2
Logo
y(x) = x - 2x
Agora, como o ponto 2 está em (0,infty), o domínio maximal é
(0,infty)

Resposta

No primeiro caso,
y(x) = x - 2x, xin(-infty,0)
No segundo caso,
y(x) = x - 2x, xin(0,infty)

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